すべての整数xに対してf(x)=ax²+bx+cが整数となる条件(整数値多項式)

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本項目は発展的な内容です。

すべての整数xに対して,\ f(x)=ax²+bx+c\ (a,\ b,\ c:実数)\ が整数と$ $なるためのa,\ b,\ cの必要十分条件を求めよ.$  整数値多項式の必要十分条件として,\ 3つの表現を知識として持っておく.  $$${「f(k)=整数}かつf(x+1)-f(x)が常に整数}」}$  $$${「連続するn+1個の整数xに対してf(x)が整数}」}$  $[3]$${「整数a_k},\ 階乗関数p_k(x)}を用いて, 常に整数となるような多項式を{整数値多項式}という. 例えば,\ f(x)=32x²+52x+1\ はどんな整数xを代入しても必ず整数になる. そうなるための必要十分条件を求めるのが本題である. 一見すると,\ 「a,\ b,\ cが整数」となりそうだが,\ これは十分条件である. 例のように,\ aやbは分数にもなりうるのである. }\ 例として,\ f(0),\ f,\ fがすべて整数となる条件を考える. \ {「f(0),f-f(0),f-f\ がすべて整数」}と考えることができる. \ f(0)=整数,\ f-f(0)=(整数)より,\ f=(整数)がいえる. \ さらに,\ f=(整数),\ f-f=(整数)より,\ f=(整数)もいえる. \ このことを文字を用いて一般化したものがである. \ {「ある整数kについてf(k)が整数\ かつ\ 階差が整数」}ならばすべて整数である. \ ここで,\ 階差を考えるのは,\ {次数が1次低くなり扱いやすくなる}からである. \ f(x)=(n次)のとき,\ (階差)=f(x+1)-f(x)=(n-1次)\ である. }\ 2次式ならば,\ {「連続する3個の整数に対してf(x)が整数」が必要十分}である. \ 例えば,\ 「f(0),\ f,\ fがすべて整数」が必要十分である. [3]}\ {n個の連続整数の積をn! で割った関数}をn次階乗関数と呼ぶことにする. \ n個の連続整数の積はn! で割り切れるから,\ {n次階乗関数はn! で割り切れる.} \ よって,\ すべての整数に対して\ p_n={x(x+1)(x+n-1)}{n!}\ は整数である. \ これを用いると,\ 例えば3次の整数値多項式は次のように表せる. \ 一般に,\ 階乗関数を用いた形に変形するには{割り算}すると考えればよい. \ 例として,\ 3次式\ f(x)=ax³+bx²+cx+d\ を階乗関数で表すとする. \ まず,\ f(x)を3次の階乗関数x(x+1)(x+2)で割る. \ 余りは2次以下の式となるから,\ この余りをさらにx(x+1)で割る. \ x(x+1)で割ったときの余りをさらにxで割ると完了である.  $g(x)=2ax+a+b\ とおく.$  $g(x)が常に整数となるための必要十分条件は { $[l} 1回階差をとることで,\ 1次式となるから,\ これが常に整数となる条件を考える. もう1度階差をとるとa,\ b,\ cで表された定数になる. これが整数であることが条件となるわけである.  $f(0),\ f(-1),\ f\ が整数であることが必要である.$   x(x+1),\ x(x-1)\ は連続2整数の積}であるから,\ 2の倍数である.  $ゆえに,\ f(x)は,\ 任意の整数xに対して整数である. 必要十分条件は {a+b,a-b,c\ が整数 ,\ [3]}の知識を持っていると見通しがよくなる. 2次式なので,\ 「連続する3個の整数xに対してf(x)が整数」が条件となるはずだ. これを考慮し,\ {必要条件}として\ f(-1),\ f(0),\ f\ を求める. 0,\ 1,\ 2でもよいが,\ -1,\ 0,\ 1とするほうがやや楽である. 「f(0),\ f(-1),\ f\ はすべて整数」をa,\ b,\ cの条件に変換する. 「a+b,\ a-b,\ cが整数」が必要だとわかったので,\ これが十分であることを示す. わかりやすく整数を文字でおき,\ {実数a,\ b,\ cを消去}する. {l,\ m,\ cが整数であることを利用するため,\ l,\ m,\ cで整理する.} すると,\ 分子が連続整数の積であるような分数が係数となる. {「n個の連続整数の積はn! で割り切れる」}を用いて整数になることが示される. なお,\ a,\ b,\ cに関する同値な表現は1つではない. よって,\ 本解と別解で結果が異っていても問題はない.
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高校数学A 整数
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