最大公約数と最小公倍数の定義

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最大公約数}  2つ以上の整数に\textcolor{red}{共通する約数の中で最大の数}最小公倍数}  2つ以上の整数に\textcolor{red}{共通する倍数の中で最小の\dot{正}数}}$ \最大公約数と最小公倍数に関する定理}}すべての公倍数は最小公倍数の倍数}}である.すべての公約数は最大公約数の約数}}である. 例えば,\ 2と3の公倍数には-6,\ -\,12,\ \cdots\ などがあるので,\ キリがない. \\[.2zh] そこで,\ 最小公倍数は正の数に限定している.\ 最大公約数は自動的に正の数になる. \\[.2zh] なお,\ 1つでも0を含むときは公倍数が0になるので,\ この場合の最小公倍数を0と定める. \\[1zh] 定理[1],\ [2]は高校数学では自明としてよいが,\ よく知られた証明を示しておく. \\[.2zh] 上級者以外はスルーしてよい.\ なお,\ 除法の原理を前提とする. \\[1zh] [1]\ \ a,\ b,\ c,\,\cdots\,の最小公倍数をl,\,任意の公倍数をm,\,mをlで割ったときの商をq,\,余りをrとする. \phantom{[1]}\ \ l,\ mはaの倍数であるから,\ l=al’,\ m=am’\ (l’,\ m’は整数)とおける. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ r=m-ql=am’-qal’=a(m’-ql’)\ より,\ rもaの倍数である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 同様に,\ rはb,\ c,\ \cdots\ の倍数である.\ つまり,\ rはa,\ b,\ c,\ \cdots\ の公倍数である. およびlが最小の\dot{正}の公倍数であることから,\ r=0である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ m-ql=0よりm=ql,\ つまりmはlの倍数である. \\[1zh] [2]\ \ a,\ b,\ c,\ \cdots\ の最大公約数をg,\ 任意の公約数をdとする. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ lをgとdの最小公倍数とすると,\ aはgとdの公倍数であるから,\ [1]よりaはlの倍数である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 同様に,\ b,\ c,\ \cdots\ はlの倍数である.\ つまり,\ lはa,\ b,\ c,\ \cdots\ の公約数である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ gは最大公約数であるから g\geqq l \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 一方,\ lはgとdの最小公倍数であったから g\leqq l \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ g=lより,\ gはdの倍数である.\ つまり,\ dはgの約数である. 次の数の組の最大公約数と最小公倍数を求めよ. 中学までに筆算での求め方を習ったかもしれないが,\ 応用性に欠ける. \\[.2zh] 高校数学では,\ \bm{素因数分解}して求めるのが基本となる. \\[1zh] \bm{最大公約数は,\ 共通する素因数をすべて取り出して掛ける}と得られる. \\[.2zh] (1)\ \ 2を2個と3を1個取り出せば,\ それ以外に共通する素因数はない. \\[.2zh] (2)\ \ 3数の場合,\ 3数に共通する素因数をすべて取り出す. \\[1zh] \bm{最小公倍数は,\ 2数の構成に最低限必要な素因数をすべて掛け合わせる}と得られる. \\[.2zh] 132の倍数になるには,\ 最低でも2が2個,\ 3が1個,\ 11が1個必要である. \\[.2zh] 360の倍数になるには,\ 最低でも2が3個,\ 3が2個,\ 5が1個必要である. \\[.2zh] 両方の倍数になるには,\ 最低でも2が3個,\ 3が2個,\ 5が1個,\ 11が1個必要であるとわかる. \\[.2zh] 3数以上の場合も同様である. のいずれに掛けても積が自然数となるような最小の分数を求めよ. \\ 分母が21と28の最大公約数},\ \textcolor{magenta}{分子が10と15の最小公倍数}であればよい. 求める分数を\,\bunsuu ba\ (既約分数)とおき,\ \bunsuu{21}{10}\cdot\bunsuu ba,\ \bunsuu{28}{15}\cdot\bunsuu ba\ が共に自然数となる条件を考えよう. \\[.8zh] 自然数になるということは,\ 分母が約分によって消えなければならないということである. \\[.2zh] つまり,\ 分母aは21と28の公約数でなければならない. \\[.2zh] また,\ 分子bは元からある分母10と15を約分によって消してしまえる数でなければならない. \\[.2zh] つまり,\ 分子bは10と15の公倍数でなければならない. \\[.2zh] さらに,\ \bm{分母aが最大,\ 分子bが最小のとき,\ 分数\,\bunsuu ba\,が最小}となることを考慮すると求められる. \\[.8zh] 21=3\cdot7,\ 28=2^2\cdot7より最大公約数7,\ \ 10=2\cdot5,\ 15=3\cdot5より最小公倍数}縦245\,cm,\ 横420\,cmの床を同じ大きさのできる限り大きい正方形のタイルですき間な \\[.2zh] \hspace{.5zw}く敷き詰める.\ \,1辺の長さが何cmのタイルを縦と横にそれぞれ何個ずつ敷き詰めるこ \\ 正方形のタイルの1辺の長さをxとする. \\[.2zh] すき間なく敷き詰めるには,\ 245と420がいずれもxの整数倍にならなければならない. \\[.2zh] 逆に言えば,\ xは245と420の公約数でなければならない. \\[.2zh] できる限り大きいタイルであるから,\ 最大公約数を求めることになる. \\[1zh] 縦横何個ずつかを求めるとき,\ 245と420が素因数分解済みならばそれを利用すると速い. \\[.2zh] 245=5\cdot7^2=35\cdot7,\ \ 420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7=12\cdot35 \\[1zh] なお,\ 本問および以下の問題は中学数学の範疇である. 縦42\,cm,\ 横54\,cmのタイルをすき間なくすべて同じ向きに並べて,\ できる限り小さい \\[.2zh] \hspace{.5zw}正方形を作る.\ \,1辺の長さは何cmになるか.\ また,\ 全部で何枚のタイルが必要か. \\ 正方形の1辺の長さをxとする. \\[.2zh] すき間なく並べて正方形を作るとき,\ xは42と54の整数倍,\ つまりは公倍数となるはずである. \\[.2zh] できる限り小さい正方形であるから,\ 最小公倍数を求めることになる. \\[1zh] タイルの枚数を求めるとき,\ 42と54が素因数分解済みならば,\ 以下のように考えるのが本質的ある. \\リンゴ87個とミカン125個を何人かの子供にできる限り多く均等に配ったところ, \\[.2zh] \hspace{.5zw}それぞれ3個,\ 5個余った.\ 考えられる子供の人数をすべて求めよ. \bm{余った分を引いて,\ 実際に配られた個数で考える.} \\[.2zh] 均等に配ったのであるから,\ 84と120がいずれも子供の人数の整数倍になっているはずである. \\[.2zh] 逆に言えば,\ 子供の人数は84と120の公約数のはずである. \\[.2zh] \bm{すべての公約数は最大公約数の約数}であるから,\ まず最大公約数を求めるとよい. \\[.2zh] 12の正の約数は1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12だが,\ これらすべてが答えになるわけではないことに注意する. \\[.2zh] \bm{「\,できる限り多く配って5個余った」ということは,\ 最低でも子供は6人いた}はずだからである. \\[1zh] 6人に配るとき リンゴは14個ずつ,\ \ ミカンは20個ずつ. \\[.2zh] 12人に配るとき リンゴは7個ずつ,\ \ ミカンは10個ずつ.

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