最大公約数と最小公倍数の数式表現

最大公約数}\ :\ 共通する約数の中で,\ 最大のもの}最小公倍数}\ :\ 共通する倍数の中で,\ 最小のもの まず与えられた数を{素因数分解}する. 132は2を2個,\ 3を1個,\ 11を1個もつ.\ 360は2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個もつ. {共通する素因数をできる限り多く(全て)取り出す}ことで,\ 最大公約数が得られる. 2を2個と3を1個取り出せば,\ それ以外に共通する素因数はない. 最小公倍数は,\ 2²311の倍数かつ2³3²5の倍数となる条件を考える. 132の倍数になるには,\ 最低でも2を2個,\ 3を1個,\ 11を1個が必要である. 360の倍数になるには,\ 最低でも2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個が必要である. 両方の倍数になるには,\ 最低でも2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個,\ 11を1個が必要. {2数の構成に最低限必要な素因数のみを取り出す}ことで,\ 最小公倍数が得られる. 3数以上の最大公約数・最小公倍数も同様にして得られる. 2整数の{最大公約数が1であるとき,\ 2整数は{互いに素であるという.$  $$ ${  日本語「a,\ bの最大公約数がg}」}$ { }\ ${→ 数式 「a=ga’,b=gb'(a’,\ b’は互いに素な整数)}」}$  $[3]$ $a,\ bの最小公倍数をL,\ 最大公約数をGとする.a=a’G,b=b’G\ (a’,\ b’:互いに素な整数)\ と表せ,\ 次が成立する.$ 例えば,3と5は互いに素だが,\ 3と6は互いに素ではない(最大公約数3). \ 互いに素は,\ 素数とは全く別の概念であることに注意する. \ 3数の場合,\ {3数の最大公約数が1であれば互いに素}といえる. \ つまり,\ (4,\ 6,\ 9)は互いに素である.\ 共通約数をもつ2数があるが関係ない. }\ 数学では,\ {問題の条件をまず数式に変換してから議論する}ことが重要である. \ 最大公約数の条件が与えられた場合,\ のような数式に変換できる. \ 最大公約数は,\ 共通する約数の中で最大のものであった. \ 逆に言えば,\ {残りは共通する約数をもたないから互いに素}である. \ 実際,\ 2数を最大公約数で割ると,\ 必ず残りが互いに素な2数になる. 132=1211,360=1230 → 11,\ 30は互いに素 [3]}\ 最大公約数と最小公倍数の関係を132と360を例に考える. \ 共通する素因数の全て({最大公約数})を括弧でくくったものが次である. \ {132=(2²3)11, 360=(2²3)30 (11,\ 30は互いに素)} \ このとき,\ {最小公倍数は (2²3)1130} \ 共通部分(最大公約数)は1回だけ掛ければよい. \ また,\ 最大公約数以外の共通しない部分は互いに素なので,\ 両方必要である. \ これを文字を用いて一般化すると,\ [3]の関係が得られる. \ {a=Ga’, b=Gb’ (a’,\ b’は互いに素)} \ このとき,\ 最小公倍数\ {L=Ga’b’}   また { LG=a’b’} \ さらに  {LG}=G²a’b’=(Ga’)(Gb’)={ab} \ これらの関係は,\ 導けるようにした上で公式として暗記しておこう. \ また,\ {3つ以上の整数については成り立たない}関係である. \ 実際,\ 上のでは(3数の積)=186084=90720,LG=12606=7560 $a bを満たす自然数a,\ bについて,\ a+b\ はa,\ bの最大公約数の3倍$ $に等しいとき,\ ab\ の値を求めよ.$ 「a,\ bの最大公約数」とあるので,\ とにかくまずこの{条件を数式に変換}する. 次に,\ {問題文中の文字を自分で設定した文字にどんどん置き換える.} {問題で与えられた文字を消去する方向で変形}していくのである. a’,\ b’が自然数であることから完全に特定でき,\ abの値が求まる. 積が2700,\ 最小公倍数が180であるような2つの自然数を求めよ.$  $2つの自然数をa,\ b\ 最大公約数をG,\ 最小公倍数をLとおく.$  $LG=ab} より 180G=2700   よって G=15}$  $a=Ga’=15a’,b=Gb’=15b'(a’,\ b’:互いに素な自然数)}\ とおける.$ LG=ab,\ L=Ga’b’\ のように,\ 2数と最小公倍数は,\ G,\ a’,\ b’\ を介して結びつく. よって,\ {自分でG,\ a’,\ b’\ を設定し,\ これも含めて考慮する}ことになる. 原理の理解がなく,\ 公式の丸暗記だけで解くのは難しい. 2つの自然数と最大公約数・最小公倍数を文字でおく. このとき,\ として大小関係も設定しておくと後が楽である. まず,\ {LG=ab\ より,\ 最大公約数Gが求まる.} 「a,\ bの最大公約数G」が求まったことになるので,\ これを数式に変換する. 次に,\ {L=Ga’b’\ より,\ a’b’\ が求まる.} {a’とb’が互いに素な自然数であることとに注意して組合せを求める.} a’とb’は互いに素であるから,\ (6,\ 2)の組合せは不適である. 最後,\ a=ga’=15a’,b=gb’=15b’\ を用いて2つの自然数を求める.
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