ガウス記号[x]の定義と性質、整数部分と小数部分

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ガウス記号の定義と性質,\ 整数部分と小数部分}}}} \\\\[.5zh]  $[1]$\ \ $\bm{\textcolor{blue}{ガウス記号\gauss xの定義}}$ \\[1zh]     $実数xに対して,\ \bm{\textcolor{blue}{\gauss{x}}}\,は\bm{\textcolor{red}{xを超えない最大の整数}}を表す.     \maru3\ \ $\bm{\textcolor{red}{x=m+\alpha\ \text{[1]}\ \ xを超えない最大の整数と表現されることが多いが,\ 要は\bm{x以下の最大の整数}である. \\ \phantom{[1]}\ \ 負数では\gauss{-\,2.7}=-\,3などとなるので,\ 安易に小数以下を無視すると考えるのは危険である. \\[1zh] \text{[2]}\ \ \maru1\ \ 当たり前だが,\ \bm{ガウス記号がついてさえいれば,\ 中身が何であれ必ず整数}になる. \\[.2zh] \phantom{[1]\ \ \maru1}\ \ このことを強烈に意識するため,\ あえて文字でおいて扱うとわかりやすくなることが多い. \\[1zh] \text{[2]}\ \ \maru2\ \ 定義から明らかに成り立つ.\ これを定義と考えることもできる. \\[.2zh] \text{[2]}\ \ \maru3\ \ \bm{x=(整数部分m)+(小数部分\ \alpha)}\ に分解する. そうでなければ一意に定まらない. 後で示すように整数部分はガウス記号の外に出せるから,\ 本質をあぶり出すことができる \phantom{[1]\ \ \maru1}\ \ 要するに,\ \bm{\gauss xはxの整数部分を表している.} \\[.2zh] \phantom{[1]\ \ \maru1}\ \ x=\gauss x+\alpha\ より,\ \bm{小数部分は\,\alpha=x-\gauss x}\ と表される. x,\ y$を実数,\ $n$を整数とするとき,\ 以下の性質が成り立つことを示せ. (1)\ \ 最もよく利用する性質であり,\ 通常は無断使用してよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x=1.4,\ n=2のとき\gauss{1.4+2}=\gauss{1.4}+2が成り立つというだけの話である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ xについての不等式を元にx+nの範囲を考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ \bm{x+nは連続する2整数\gauss x+n,\ \gauss x+n+1の間にある数}であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ x+n以下の最大の整数\gauss{x+n}は\gauss x+nに等しい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ わかりにくいならば,\ \gauss x=m\ (m:整数)とおいて考えるとよい. \phantom{(1)}\ \ よって,\ x+n以下の最大の整数\gauss{x+n}はm+n=\gauss x+nに等しい. \\[1zh] (2)\ \ x,\ yについての不等式を元にx+yの範囲を考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ すると,\ x+yは\bm{2整数\gauss x+\gauss y,\ \gauss x+\gauss y+2の間にある数}であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ x+y以下の最大の整数\gauss{x+y}は,\ 2整数\gauss x+\gauss y,\ \gauss x+\gauss y+1といずれかと等しい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この\bm{2整数のいずれにしろ,\ \gauss x+\gauss y以上}というわけである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 整数部分と小数部分に分けて考える別解も示した.\ (1)を利用し,\ とにかく\bm{整数部分を外に出す.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \gauss{\alpha+\beta}に帰着するが,\ 小数部分\,\alpha,\ \beta\,の範囲を考慮すると値を求められる. \\[1zh] (3)\ \ \gauss yは整数であるから,\ 整数\gauss x+1より小さいならば整数\gauss x以下である. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2つの不等式を合体させる場合,\ 必ず和として合体させる必要があるのであった. \\[.2zh] 正の実数$x$の小数部分をガウス記号を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 正の実数$x$の小数第1位を四捨五入した数をガウス記号を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 正の実数$x$の小数第3位を四捨五入した数をガウス記号を用いて表せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $a,\ b$を自然数とする.\ \ $a$を$b$で割ったときの余りをガウス記号を用いて表せ. (2)\ \ とにかく具体的な数値で考えてみる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ A=x+0.5\,とすればよいことがわかる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 四捨五入した数の表現は1つではなく,\ 別解も有名な表現である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{整数部分\gauss xに,\ 小数部分が0.5未満ならば0,\ 0.5以上ならば1となるような式を足せばよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{xの小数部分を表すx-\gauss x}を2倍してガウス記号をつけることで実現できる. \\[.5zh] (3)\ \ 一旦xを100倍した数を考えて(2)と同様に処理した後,\ 100で割って桁を戻せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x=1.258とすると,\ 100x=125.8である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \gauss{100x+0.5}=\gauss{126.3}=126を100で割って1.26が得られる. \\[1zh] (4)\ \ 割り算についての等式よりr=a-bqとなるから,\ qをa,\ bを用いて表せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等式の両辺をbで割ると,\ \bm{q+\bunsuu rb\,は(整数部分)+(小数部分)の形}になっている. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ これにガウス記号をつけると整数部分qとなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\ \bm{分数にガウス記号をつけたものは商に等しい}というわけである. \\[.4zh] \phantom{(1)}\ \ 文字だけで見ると難しく感じるが,\ \gauss{\bunsuu{18}{7}}=\gauss{2+\bunsuu47}=2というだけである. }正の実数$x$の小数部分を$\{x\}$で表すとき,\ 次の(1),\ (2)を証明せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $m$が正の整数のとき,\ $\left\{\bunsuu1m\right\},\ \left\{\bunsuu2m\right\},\ \cdots\cdots,\ \left\{\bunsuu nm\right\},\ \cdots\cdots$\ の中には相異なる \\[.5zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 数は有限個しかない. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $a$が無理数のとき,\ $\{a\},\ \{2a\},\ \cdots\cdots,\ \{na\},\ \cdots\cdots$\ はすべて異なる. [\,茨城大\,]  (1)\ \ 任意の自然数$n$に対して,\ $\textcolor{red}{n=mq+r\}$を満たす整数$q,\ r$が存在する. {\bunsuu2m\right\},\ \cdots\cdots,\ \left\{\bunsuu nm\right\},\ \cdots\cdots\ の中の相異なる数は有限個である.}$}} \\\\\\  (2)\ \ 異なる自然数$k,\ l$に対して,\ \textcolor{red}{$\{ka\}=\{la\}$となるものが存在すると仮定}する. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このとき $\textcolor{cyan}{ka-la=N\ (N:整数)}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $k-l\neqq0$より$\textcolor{cyan}{a=\bunsuu{N}{k-l}}$とできるが,\ \textcolor{red}{$(無理数)=(有理数)$}より,\ \textcolor{red}{矛盾}である. \\\\ (1)\ \ \bm{割り算の等式を元に整数部分と小数部分に分離する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \{ \}は小数部分なので整数部分qは無視でき,\ \bunsuu rm\,のみが残る. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ mで割ったときの余りrは0,\ 1,\ \cdots,\ m-1のm種類しかないことから題意が示される. (2)\ \ \bm{背理法}で証明できる.\ 一致するものが存在すると仮定し,\ 矛盾を導く. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 「\bm{小数部分が等しい\ \Longleftrightarrow\ 差が整数}」を利用する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 以前に次を用いて余りがすべて異なること(完全剰余系の基本定理)を証明したのと同様である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  「\,nで割ったときの余りが等しい\ \Longleftrightarrow\ 差がnの倍数」
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