階乗の素因数の個数(階乗の末尾に連続して並ぶ0の個数)

10!に含まれる素因数2の個数を求めよ.$ 素因数を縦に並べて,\ 横に数えるのがポイントである.$ 2³の倍数の個数}$) 10程度なら全て書き出すことも可能だが,\ それでは応用が利かない. {一般的に通用する考え方}で求める. 10!\ の中に,\ 素因数2はどのような規則で表れるだろうか. {自然数を横に並べた表を作り,\ その下に素因数2の個数を●で縦に並べて書く.} 2は●1個,\ 4は2²より2を2個もつから●を縦に2個書くといった具合である. {横に見て数えると,\ 個数を計算で求めることができる.} 第1段目の●は,\ {2の倍数の個数に等しい}から,\ 102=5個. 第2段目の●は,\ {2²=4の倍数の個数に等しい}から,\ 104=2.5より,\ 2個. 第3段目の●は,\ {2³=8の倍数の個数に等しい}から,\ 108=1.25\ より,\ 1個. 2⁴=16の時点で10を超えるから,\ これ以降を考慮する必要はない. 次のように問われた場合も,\ 全く同じ問題であることに気付いて欲しい. 「2^nが10!\ を割り切るときのnの最大値を求めよ」「10!\ は2で何回割れるか」 末尾に連続して並ぶ0の個数を求めよ.$ n! の末尾に0が何個連続して並ぶか}」}$  $→ {「n! に10が何個含まれるか」}$  $→ {「n! に5が何個含まれるか}」}$ (2は5より多い) { $[l} {末尾の0の個数は,\ 含まれる10の個数に等しい.} 例えば,\ 5000は末尾に0が3個並ぶが,\ これは10が3個含まれることを意味する. さらに,\ 10=25より,\ 5が1個と2が1個で10が1個分に相当する. ここで,\ {素因数2の個数は,\ 明らかに素因数5の個数より多い.} よって,\ {素因数5の個数を求めることに帰着}するのである. ここまで言い換えると,\ 先の問題と実質同じになる. 表を頭の中でイメージしながら求める. 5の倍数の個数,\ 5²の倍数の個数,\ 5³の倍数の個数を求めて足せばよい. 5⁴=625\ の個数は0個であるから,\ これ以上考慮する必要はない.  階乗の素因数の個数をガウス記号を用いて一般化してみよう. 1からnまでの中にあるpの倍数の個数は ガウス記号[x]は,\ {xを超えない最大の整数}を表す. gauss 2=2,1.8}=1,π=3 ガウス記号を使うと,\ 例えば1~100の中の3の倍数の個数は100}{3と表される. 実際,\ 100}{3=33.33}=33(個)\ である. これを元に一般化したものが上の表現である. この無限和のとなる部分は,\ {n}{p^k}より全て0である.
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