ガウス記号の応用② レイリーの定理の証明

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r,\ s$を正の無理数とする.\ 実数$x$に対して,\ $x$を超えない最大の整数を$\gauss x$で表す. \\[.2zh] \hspace{.5zw}2つの集合$A,\ B$を次のように定める. \\[.5zh] \hspace{.5zw}  $A=\{\,\gauss{mr}\,|\,m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\}, B=\{\,\gauss{ns}\,|\,n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\}$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$\bunsuu1r+\bunsuu1s=1$のとき,\ すべての自然数が$A$または$B$の一方のみに属することを示せ{レイリーの定理の証明}}}} \\\\[.5zh]  [1]\ \ \textcolor{red}{$\gauss{mr}=\gauss{ns}=k\ (k:自然数)$となるような自然数$m,\ n$が存在すると仮定}する. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ $m,\ n,\ k$は自然数であるから,\ これは矛盾である. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ すなわち,\ \textcolor{red}{$\bm{A}$と$\bm{B}$の両方に属する自然数は存在しない.} \\\\[1zh]  [2]\ \ \textcolor{red}{ある自然数$k$が$A$と$B$のいずれにも属さないと仮定}する. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ $m,\ n,\ k$は自然数であるから,\ これは矛盾である. \\[1zh] \phantom{ [1]}\ \ すなわち,\ \textcolor{red}{すべての自然数は$\bm{A}$と$\bm{B}$の少なくとも一方に属する.} \\\\ \centerline{$\therefore$ [1],\ [2]\,より,\ \textbf{すべての自然数は$\bm{A}$または$\bm{B}$の一方のみに属する.}} \\\\\\ 出題率は低いが,\ 有名で美しい定理なので上級者は知っておくとよい.\ 初見だと相当な難問である. \\[1zh] まずは,\ 具体的な数でレイリーの定理の意味合いを把握しよう. \\[.2zh] r=\ruizyoukon2\,のときを考えると,\ \bunsuu1r+\bunsuu1s=1よりs=2+\ruizyoukon2\,である. \\[.8zh] このとき,\ 2つの集合A,\ Bの要素をそれぞれ書き出してみると以下のようになる. レイリーの定理は,\ \bm{すべての自然数が重複なくもれなく一方の集合のみに属する}ことを主張する. \\ 言い換えると,\ \bm{2つの無理数を用いて自然数を2つの集合に分割できる}ことを保証する. \\[1zh] \bm{重複がないことともれがないことを別々に示す}のが標準的な証明である.\ いずれも\bm{背理法}による. \\[1zh] 重複がないことの証明は,\ \bm{重複するものが存在すると仮定して矛盾を示す.} \\[.2zh] \gauss{f(x)}=\gauss{g(x)}型の方程式を解くときと同様に,\ \bm{=(整数)と文字でおいて扱う.} ここで,\ kは整数より\bm{r,\ sが無理数のときk=mr,\ k=nsとはならない}から,\ \bm{等号を排除}する. \\[.2zh] 不等式をm,\ nについて解いた後,\ 2式を足すと\,\bunsuu1r+\bunsuu1s=1を適用できる. \\[.8zh] \bm{整数m+nが連続する2整数k,\ k+1の間にあるはずはない}から,\ 矛盾である. もれがないことの証明も大まかな流れは同じである. \\[.2zh] ただし,\ 仮定を数式で表すのが少し難しい.\ わかりやすいように具体的な整数で考えると以下となる. \\[1zh] 自然数2がAに属さないための条件を考える. \\[.2zh] 逆に,\ 自然数2がAに属するのは,\ となるような自然数mが存在するときである. \\[.2zh] よって,\ ある自然数mに対してとなるとき,\ 2はAに属さない.} \\[.2zh] さらに,\ rは無理数なので3=(m+1)rとはならないから,\ \bm{等号を排除}できる. \\[1zh] 後は[1]と同様に2式を足した後,\ \bunsuu1r+\bunsuu1s=1を適用する. \\[.8zh] \bm{整数kが連続する2整数m+n,\ m+n+1の間にあるはずはない}から,\ 矛盾である.
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