n進法の順序(n種類の数字で表された自然数列)

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3種類の数字0,\ 1,\ 2を用いて表される自然数を5桁まで小さい順に並べる. \\[.5zh] \hspace{.5zw} 1,\ \ 2,\ \ 10,\ \ 11,\ \ 12,\ \ 20,\ \ 21,\ \ 22,\ \ 100,\ \ 101,\ \ 102,\ \ 110,\ \ 111,\ \ $\cdots\cdots$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 210番目の数は何か. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 2012は何番目の数か. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 自然数は全部で何個並ぶか. n}$進法の順序}   (3)\ \ \textcolor{cyan}{$○○○○○$の○にそれぞれ0,\ 1,\ 2の3通りの数字を入れる}ときの場合の数に等しい. \\ \bm{3種類の数字で桁を増やしながら順序を作る}というのは3進法の考え方そのものである. \\[.2zh] よって,\ 本問は3進法で考えるのが合理的である. \\[.2zh] \bm{n個の数字で表される自然数列を考える場合はn進法が有効}というわけである. \\[1zh] 実際には,\ \bm{並んでいる自然数を3進数とみなして10進数に変換してみる.} \\[.5zh] \bm{10進数に変換すると1から順に並んでいるから,\ 「最初から何番目か」がわかる.} \\[1zh] (1)\ \ 例えば,\ 5番目の数は\ 5_{(10)}=12_{(3)}\ より\ 12である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{「最初から○番目の数」を求めたければ,\ ○を3進数に変換}すればよい. \\[1zh] (2)\ \ 例えば,\ 20は\ 20_{(3)}=6_{(10)}\ より最初から6番目の数である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{「\,□は最初から何番目か」を求めたければ,\ □を10進数に変換}すればよい. \\[1zh] (3)\ \ 整数というより場合の数の問題である.\ 単純には,\ 桁数ごとに個数を求めることが思い浮かぶ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 2桁の自然数○○の個数を求めるとする. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 左の○は1,\ 2の2通り,\ 右の○は0,\ 1,\ 2の3通りがあるから,\ 全部で2\cdot3=6個ある. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 実は,\ 本問には\bm{対称性を利用したスマートな解法}がある(場合の数分野で学習). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1を00001,\ 12を00012のようにみなすのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうすると,\ \bm{1から22222までのすべての自然数が対等な5個の数字の並び}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{重複順列}の扱いとなり,\ 1桁から5桁までのすべての自然数の個数をまとめて求められる.
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高校数学A 整数
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