最大値と最小値の確率

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サイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の最大値をX,\ 最小値を$Y$とする.\  (1)\ \ $X=6$となる確率を求めよ.  (2)\ \ $X=5$となる確率を求めよ.  (3)\ \ $Y=3$となる確率を求めよ.  (4)\ \ $X=5$かつ$Y=3$となる確率を求めよ.  (5)\ \ $X-Y=2$となる確率を求めよ. \\ {最大値と最小値の確率 \\  $X=k$となる確率を$P(X=k)$のように表す. 二項定理(数II)を利用 最大値・最小値の確率は,\ 同じ数字が複数選ばれる可能性がない場合は単純に求められる. 例えば,\ 1から10までの数字から同時に3個選ぶとき,\ 最大の数字が6の確率を求めるとしよう. 1個は6で確定なので残り2個の数字を5以下の5個から選べばよく,\ C52}{C{10}{3=1}{12}\,となる. ここでは,\ 同じ数字が複数選ばれる可能性がある場合の最大値・最小値の確率の求め方を紹介する. この場合は直接的に求めることが難しくなるので,\ 余事象や差事象を利用する}方法が推奨される. (1)\ \ 「最大値6\,」は,\ 「\,n回のうち少なくとも1回6の目が出る」}と言い換えられる. \ \ このように,\ 「最大値・最小値」には「少なくとも~」が隠れているため,\ 余事象を利用}できる. \ \ 「\,n回のうち少なくとも1回6が出る」の余事象は,\ 「\,n回すべて5以下の目が出る」}である. \ \ 「\,n回すべて○以上・○以下」の確率ならば容易に求まる}ことを利用するわけである. (2)\ \ 「最大値5\,」=「\,n回すべて5以下の目が出て,\,かつ,\,n回のうち少なくとも1回5の目が出る」} \ \ (1)とは違って6の目が出てはいけないという条件}もあるから,\ 1-P(X≦4)は誤りである. \ \ 「\,すべて5以下」というn回全体に関する条件に着目して全事象をとるのがポイントである. \ \ つまり,\ 「\,n回すべて5以下の目が出る」から「\,n回すべて4以下の目が出る」を引けば済む.} \ \ 結局,\ 最大値・最小値の確率は,\ タマネギの断面図のイメージ}が全てである. \ \ 全事象Uの中に「すべて5以下の目が出る」があり,\ これを除くと「最大値6\,」となる. \ \ さらに,\ 「すべて5以下の目が出る」の中に「すべて4以下の目が出る」がある. \ \ 「すべて5以下の目が出る」から「すべて4以下の目が出る」を除くと,\ 「最大値5\,」となる. \ \ なお,\ 以下のように求めると間違うので注意してほしい. \ \  1回目に5の目が出る(他の回は5以下ならば何でもよい)確率は 1656^{n-1} \ \  2回目,\ 3回目,\ ・・・,\ n回目に5の目が出る確率も同じである. \ \  よって P(X=5)=(1回目5)+(2回目5)+・・・+(n回目5)=1656^{n-1}× n \ \ (1回目5),\ ・・・,\ (n回目5)は排反ではない}から,\ 単純に足しても求まらない. \ \ 直接的に求めることも可能だが,\ 二項定理}の知識を要する(別解). \ \ 排反か否かは後から考えるのではなく,そもそも排反になるように場合分けすべき}なのであった. \ \ n回のうち5の目が何回出るかで場合分けすると排反になる.} \ \ 各場合は,\ 同じ試行をn回繰り返すという反復試行}の確率である. \ \ 確率pの事象Aがr回,\ 確率qの事象Bがn-r回起こる確率は C nrp^rq^{n-r} \ \  5の目がちょうど1回出るとき   \ \ これらの和を次の二項定理を用いてまとめる}ことを考える.\ なお,\ C n0=C nn=1である. \ \  (a+b)^n=C n0a^n+C n1a^{n-1}b+C n2a^{n-2}b^2+・・・+C{n}{n-1}ab^{n-1}+C nnb^n \ \ 46^nを無理矢理作る}と公式を適用できる. (3)\ \ 「\,n回すべて3以上の目が出る」から「\,n回すべて4以上の目が出る」を除く.} 「最大値5かつ最小値3\,」は以下のように言い換えられる.  「\,n回すべて3か4か5で,\ かつ少なくとも1回3が出て,\ かつ少なくとも1回5が出る」} とりあえず,\ 「\,n回すべて3か4か5の目が出る」を全事象Uとする.} 求める確率は,\ このUの中で}以下となるような確率である.  「少なくとも1回3の目が出る(A)」かつ「少なくとも1回5の目が出る(B)」} 「少なくとも~」かつ「少なくとも~」の確率}は,\ 前項で述べた通り,\ 余事象を利用}して求める. 集合の観点からとらえるとほぼ機械的に処理できる}のであった. ド・モルガンの法則\ A∩ B}= A∪ B}\ により,\ 結局P( A),\ P( B),\ P( A∩ B)に帰着する.   A:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も3の目が出ない」=「\,n回すべて4か5の目が出る」   B:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も5の目が出ない」=「\,n回すべて3か4の目が出る」   A∩ B:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も3の目も5の目も出ない」=「\,n回すべて4の目が出る」 後は,\ 全事象の確率P(U)が1ではない}ことに注意して求めればよい. ベン図}でとらえる場合,\ 周りの部分が求めるA∩ Bであると考える}と考えるとわかりやすい. なお,\ P(A∩ B)=P(A)・ P(B)は一般には成り立たない}のであった(参照:事象の独立と従属) よって,\ (2)と(3)を用いてP(X=5,\ Y=3)=P(X=5)・ P(Y=3)で求めるのは誤り}である. たまたまP(A)・ P(B)の計算結果が正答と一致する可能性はあるが,\ 論理不足とみなされる. 本問の場合は,\ P(X=5)・ P(Y=3)の計算結果はそもそも正答と一致しない. $X-Y=2$となるのは,\ $(X,\ Y)=(3,\ 1),\ (4,\ 2),\ (5,\ 3),\ (6,\ 4)}$のときである. X-Y=2となる(X,\ Y)の組合せは4通りある. (4)と同様に考えると,\ どの組合せに対する確率も同じである.