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サイコロを$n$回投げるとき,\ 出る目の最大値を$X$,\ 最小値を$Y$とする. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $X=6\ となる確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $X=5\ となる確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $Y=3\ となる確率を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $X=5\ かつ\ Y=3\ となる確率を求めよ.X=k\ となる確率をP(X=k)\ のように表す.$ \\\\ 「最大値6」を言い換えると,\ \bm{「n回のうち少なくとも1回は6が出る」}である. \\ \phantom{(1)}\ このように,\ 「最大値・最小値」には,\ 「少なくとも~」が隠れている. \\ \phantom{(1)}\ 「少なくとも~」を含む場合,\ \bm{余事象}を利用するのが有効であった. \\ \phantom{(1)}\ 「少なくとも1回は6が出る」の余事象は,\ \bm{「すべて5以下の目が出る」}である. \\ \phantom{(1)}\ \bm{「以上・以下」は容易に求められる}から,\ これを1から引けばよい. \\[1zh] (2)\ 「最大値5」は,\ \bm{「すべて5以下で,\ かつ少なくとも1回は5が出る」}である. \\ \phantom{(1)}\ (1)とは違い,\ \bm{6が出てはいけないという条件}も加わっている. \\ \phantom{(1)}\ 単に1から「すべて4以下」を引いただけでは,\ 6が出る場合も含んでしまう. \\ \phantom{(1)}\ この場合,\ \bm{「すべて5以下」から「すべて4以下」を引けばよい}のである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ 結局,\ 最大値・最小値の確率は,\ \bm{タマネギ型の図のイメージ}が全てである. \\ \phantom{(1)}\ 全事象の中に事象「1~5が出る」があり,\ 除くと事象「最大値6」となる. \\ \phantom{(1)}\ さらに,\ 事象「1~5が出る」の中に事象「1~4が出る」がある. \\ \phantom{(1)}\ 「1~5が出る」から「1~4が出る」を除くと,\ 事象「最大値5」となる. \\[1zh] (3)\ (2)と同様に,\ タマネギ型の図をイメージする. \\ \phantom{(1)}\ \bm{「すべて3以上」から「すべて4以上」を除く}と,\ 「最小値3」となる. 「最大値5かつ最小値3」を言い換える. \\ \bm{「全て3~5で,\ かつ少なくとも1回は3が出て,\ かつ少なくとも1回は5が出る」} \\[1zh] \bm{「3~5が出る」を全体}とする.\ ここから,\ 次を除けばよい. \\ \bm{「1回も3が出ない(すべて4,\ 5)」\ \underline{または}\ 「1回も5が出ない(すべて3,\ 4)」} \\ この2つの事象は\bm{排反ではない}から,\ 重複部分「すべて4」の考慮が必要である. \\ つまり,\ \bm{(4,\ 5または3,\ 4)=(4,\ 5)+(3,\ 4)-(4)}\ となる. \\ これを全体「すべて3~5」から引けばよい. \\ ベン図で考えるとわかりやすい.\ 求めるのは,\ 図の色塗り部分の確率である.