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2数が\underline{1より大きい公約数g}をもつと仮定して矛盾を導く}(\textcolor{blue}{背理法}).}2数の\underline{最大公約数をg}として,\ 直接g=1を示す.nとn+1が公約数g\をもつと仮定}する \phantom{ [1]}\ $2式からnを消去して整理すると \b-aは整数であるから,\ g=\pm1\ であり,\ 矛盾}する.$n,\ n+1は互いに素}である.$} \\\\[1zh]  $[2]$\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{nとn+1の最大公約数をg}とする.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ このとき,\ $\textcolor{red}{n=ga,\ \ n+1=gb\ \ (a,\ b:互いに素な整数)}とおける.$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ $2式からnを消去して整理すると  \centerline{$\therefore \textcolor{red}{最大公約数\ g=1}\ となるから,\ \bm{n,\ n+1は互いに素}である. 「互いに素」の示し方は,\ 背理法による間接証明[1]と直接証明[2]がある. \\ \bm{「1以外に公約数をもたない」と否定的表現}でとらえると,\ 背理法が有効である. \\[1zh] \text{[1]}\ 「m,\ nが公約数gをもつ」は\bm{「m=ga,\ n=gb\,(a,\ b:整数)」}に変換できる. \\ \phantom{[1]}\ \underline{最大}公約数gではないから,\ \bm{a,\ bは互いに素とは限らない}ことに注意する. \\ \phantom{[1]}\ 後は,\ \bm{問題で与えられた文字を消去}する方向で変形する. \\ \phantom{[1]}\ さらに,\ \bm{共通因数をもつものをまとめ,\ 両辺が積の形になるように変形する.} \\ \phantom{[1]}\ このように整数分野の基本的発想に従っていくと矛盾が生じる. \\[1zh] \text{[2]}\ 最大公約数をgとおく場合は,\ a,\ bが互いに素な整数となる. \\ \phantom{[1]}\ 同様の発想で変形し,\ さらに\bm{a,\ bの大小関係を考慮}する. \\ \phantom{[1]}\ すると,\ 直接的に最大公約数\ g=1\ が示される. \\[1zh] 「連続する2整数が互いに素」という事実は思いの外よく利用する. \\ 記述試験で連続2整数が互いに素であることを自明としてよいかは微妙である. \\ 大した記述量でもないので,\ 簡潔にでも証明を書いてリスクを避けるとよい. 一般的ではあるが,\ 実は次の手法のほうが汎用性が高い. \\[.2zh]  \textbf{「互いに素」を「\textcolor{magenta}{素数の公約数をもたない}」ととらえる}わけである. \\[1zh]  $[3]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{2数が\underline{素数の公約数p}をもつと仮定して矛盾を導く}(\textcolor{blue}{背理法}).2つの自然数m,\ nが互いに素であるとき,\ nとm-nも互いに素となる$ \\[.2zh] nとm-nが素数の公約数pをもつと仮定}する. \textcolor{red}{n=pa,\ \ m-n=pb\ \ (a,\ b:整数)}\ とおける.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $2式からnを消去して整理すると \textcolor{cyan}{m=p(b+a)}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $よって,\ \textcolor{cyan}{mとnは素数の公約数pをもつ.}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $これは,\ \textcolor{red}{m,\ nが互いに素であることと矛盾}する.$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \bm{nとm-nは互いに素}である. 前問と同様の方法でも証明できるが,\ [3]の方法で示す. \\ 素数の公約数の存在を仮定する以外は前問と同じである. \\ m=p(b+a)より,\ \bm{mは素数pを約数にもつ.} \\ n=paより,\ \bm{nも素数pを約数にもつ.}\ ここに矛盾が生じるわけである. 2つの自然数m,\ nに対し,\ 次が成立することを示せ.$ \\[.4zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $「m,\ nが互いに素」ならば「m+nとmnが互いに素」$ \\[.4zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $「m+nとmnが互いに素」ならば「m,\ nは互いに素」$ \\ m+nとmnが素数の公約数pをもつと仮定}する. \phantom{ [1]}\ $よって,\ \textcolor{magenta}{mまたはnは,\ pの倍数}である.$ \\[1zh] \phantom{ [1]}\ $mがpの倍数のとき,\ \textcolor{magenta}{m=pk\ (k:整数)}\ とおける. \phantom{ [1]}\ $a-kは整数であるから,\ nもpの倍数である.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $これは,\ \textcolor{red}{m,\ nが互いに素であることと矛盾}する.$ \\[1zh] \phantom{ [1]}\ $nがpの倍数のとき,\ 同様にしてmもpの倍数となり,\ 矛盾する.m+nとmnは互いに素}である.mとnが素数の公約数をpをもつと仮定}とする.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ このとき,\ $\textcolor{red}{m=pa,\ \ n=pb\ \ (a,\ b:整数)}とおける.$ \\[.5zh] \phantom{ [1]}\ $よって \textcolor{cyan}{m+n=pa+pb=p(a+b), mn=pa\cdot pb=p^2ab}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $ゆえに,\ m+nとmnは素数pを公約数にもつ.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $これは,\ \textcolor{red}{m+n,\ mnが互いに素であることと矛盾}する.$ \\[.8zh] 前問は素数の公約数である必然性はなかったが,\ 本問は素数条件が役立つ. \\ mn=pbより,\ mnは素数pの倍数であるから,\ 次が利用できる. \\ \bm{「mnが素数pの倍数」ならば「mがpの倍数またはnがpの倍数」} \\ これはpが素数であるからこそ成り立つ関係であることに注意して欲しい. \\[1zh] mがpの倍数の場合とnがpの倍数の場合を分けて考える. \\ \bm{日本語「mがpの倍数」は,\ 数式「m=pk\ (k:整数)」に変換できる.} \\ これを用いて\bm{既存の文字mを消去し,\ 共通因数をくくる}とn=p(a-k)を得る. \\ 結局,\ 素数pを公約数としてもつことになり,\ 矛盾することがわかる. \\ nがpの倍数の場合も同様なので,\ 簡潔な記述で済ませてよい. \\ また,\ (2)は普通に計算するだけで容易に示せる.  以下にまとめた結果は記憶に値する.\ 特に\maru1は非常に重要である. \\[1zh]     \maru1 $\bm{「\textcolor{red}{隣り合う2整数n,\ n+1は互いに素}」}  {\normalsize *取り上げた問題では,\ \maru2は$\Longrightarrow$しか示していないが,\ 実は$\Longleftarrow$も成り立つ.}