検索用コード
素数の定義}  \textcolor{magenta}{2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数}} \\\\  $[2]$\ \textbf{\textcolor{blue}{素数は無限にある}} 素数が有限個であると仮定}し,\ その\underline{全て}を\ $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n\ とおく.$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $「\textcolor{red}{N=p_1p_2\cdot\,\cdots\,\cdot p_n+1}」$という数を考える. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ \textcolor{cyan}{$N$が素数}ならば,\ \ $p_1\,~\,p_n$が全ての素数であることと\textcolor{magenta}{矛盾}する. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ \textcolor{cyan}{$N$が合成数}ならば,\ \ $N$を割り切る素数が存在するはずである. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ ところが,\ $式の形から,\ p_1\,~\,p_n$のいずれで割ったときも1余る. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ よって,\ $p_1\,~\,p_n$以外の素数が存在することになり,\ 仮定と\textcolor{magenta}{矛盾}する. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ 以上より, 素数が無限にあることが示された. \\\\  $[3]$\ $素数pの\bm{\textcolor{blue}{約数は\pm1と\pm p}}に限られる.$ \\\\  $[4]$\ $素数pは,\ \bm{\textcolor{blue}{1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ p-1\ の全てと互いに素}}である.$ \\\\  $[5]$ \textbf{\textcolor{blue}{偶数の素数は2のみ}}  逆に言えば,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{3以上の素数は全て奇数 問題で素数という条件があれば,\ 素数の性質を何かしら使うはずである. \\ 「整数」自体かなり厳しい条件だが,\ 中でも\bm{「素数」は最強に厳しい条件}である. \\ よって,\ 少ない条件からでも,\ 値を絞り込んだり特定できたりするのである. \\\\ \text{[1]}\ 1は1自身の1個しか約数をもたないから素数(\text{prime\ number})ではない. \\[1zh] \text{[2]}\ 上の証明は,\ ユークリッドの「原論」に記された最古の証明とは微妙に異なる. \\ \phantom{[1]}\ 数学的にはユークリッドによる直接証明のほうが意義深い. \\ \phantom{[1]}\ しかし,\ 高校生がよく見かけるのは,\ 上の\bm{背理法を用いた間接証明}である. \\ \phantom{[1]}\ なお,\ 「p_1\,~\,p_nで割り切れないからN_n\ は素数となり矛盾」とする\bm{誤り}が多い. \\ \phantom{[1]}\ 実際,\ N=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=59\times509\ という反例が存在する. \\ \phantom{[1]}\ N\,は,\ 素数となる場合も合成数となる場合もある. \\ \phantom{[1]}\ \bm{素数としても,\ 合成数としても,\ 有限個とした仮定と矛盾する}のである. \\ \phantom{[1]}\ また,\ \bm{Nは,\ 有限個の素数を元に,\ 新たな素数の存在を示唆する式}である. \\ \phantom{[1]}\ 有限個の素数でNを作ると,\ N自体かその約数として新たな素数が見つかる. \\[1zh] \text{[3]}\ 例:素数13の約数は,\ \pm1と\pm13のみ. \\ \text{[4]}\ 例:素数7は,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6のいずれとも互いに素である. n^2-20n+91が素数となる整数nを求めよ.      [明治学院大]$ \\  $n^2-20n+91=(n-7)(n-13)$ \\[.2zh]  $よって\ \textcolor{red}{n-7=\pm1,\ n-13=\pm1},\ つまり\ n=6,\ 8,\ 12,\ 14\ が必要である.$ \\[.2zh]  $n=6のとき7,\ \ n=8のとき-5,\ \ n=12のとき-5,\ \ n=14のとき7$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore 素数となる整数nは \bm{n=6,\ 14 因数分解によって\bm{積の形}に変形できる. \\ 素数になるためには,\ \bm{因数の1つが1または-1であることが必要}である. \\ 後は,\ 実際に素数となるかを確認する.\ このとき,\ (n-7)(n-13)に代入すること. a,\ dを正の整数とする.\ x_1=a,\ \ x_2=a+d,\ \ x_3=a+2d,\ \ x_4=a+3d$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$とおく.\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4\ がすべて素数であるとき,\ aは奇数で,\ dは偶数$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$であることを示せ.                \ \ [奈良女子大学]$ \\ x_3-x_1=2d=(偶数)}$\ より,\ \ \textcolor{red}{$x_1$と$x_3$は偶奇が一致}する. \\[.2zh]  偶素数は2しかないから,\ $\bm{x_1=aは奇数}$である. \\[.5zh]  $\textcolor{cyan}{x_4-x_2=2d=(偶数)}$\ より,\ \ \textcolor{red}{$x_2$と$x_4$は偶奇が一致}する. \\[.2zh]  よって,\ $x_2$は奇数である. \\[.2zh]  ゆえに,\ $a$が奇数であることから,\ $\bm{dは偶数}$となる. 複数の素数が絡むとき,\ \bm{素数の和・差がポイントになる}ことが多い. \\ 和・差を考慮することで,\ \bm{偶素数が2しかない}ことが利用できるからである. \\ 一般に,\ \begin{cases} (偶数)\pm(偶数)=(偶数) \\ (偶数)\pm(奇数)=(奇数) \\ (奇数)\pm(奇数)=(偶数) \end{cases}である. \\ 整数の和・差における偶奇性と偶素数が2しかないことから次がいえる. \\ \bm{素数の和・差が奇数ならば,\ 一方が2である}ことが確定する. \\ \bm{素数の和・差が偶数ならば,\ 両方が奇素数である}ことが確定する. \\[1zh] 本問でいえば,\ x_1とx_3,\ x_2とx_4のそれぞれの偶奇が一致する. \\ しかし,\ 偶素数は1つしかないので,\ 結局\bm{4つとも奇素数}であるといえる. \\ x_2=a+d=(奇素数)で,\ x_1=a=(奇素数)であるから,\ dは偶数である. pを2とは異なる素数とする.\ \ m^2=n^2+p^2\ を満たす自然数の組(m,\ n)$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$がただ1組存在することを証明せよ.           \ \ [静岡大]$ \\  $ここで,\ \textcolor{red}{pは奇素数であるから,\ p^2+1,\ p^2-1は正の偶数}である.$ \\[.2zh]  $よって,\ \bunsuu{p^2+1}{2},\ \bunsuu{p^2-1}{2}\ は自然数となる.$ \\[.2zh]  $以上より,\ 自然数の組(m,\ n)がただ1組存在することが示された. 本問は,\ 代表的な不定方程式\ \bm{x^2-y^2=k型}である. \\ 因数分解によって\bm{両辺を積の形に変形}し,\ 組合せを考える. \\[1zh] 積がp^2となる組合せは  よって,\ (m+p)(m-p)=n^2\ のように変形してはいけない. \\ 右辺が素数の積でなければ,\ 組合せが特定できないのである. \\[1zh] 通常の不定方程式とは異なり,\ 本問は組合せを1組に絞り込む必要がある. \\ x^2-y^2=k型は,\ \bm{各因数の範囲と大小関係を考慮}すると候補を絞り込める. \\ m,\ nが自然数であることから,\がいえる. \\ このとき,\0より,\ (正)(m-n)=(正)\ となるから,\もいえる. \\ さらに,\ \bm{因数の差を計算}してみることで,\ 大小関係も定まる. \\ 結局,\ (m+n,\ m-n)=(p^2,\ 1)\ だけが\ \ を満たす. \\ これを解いて(m,\ n)が求まるが,\ 分数の形になっている. \\ (m,\ n)が自然数であるためには,\ \bm{分子が2の倍数}でなければならない. \\ ここで,\ 「pが2以外の素数」という条件が効いてくるわけである. \\ \bm{pは奇素数}であるから,\ p^2が奇数であり,\ このとき\bm{p^2\pm1が偶数}といえる. \\