検索用コード
整数からなる数列\suuretu{a_n}を次に示す漸化式によって定める. \hspace{.5zw}$このとき,\ a_n\,が偶数となるための条件を求めよ.      [東京大]$ \\  $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{漸化式で定義された余りの数列}}は,\ \textbf{\textcolor{red}{一定の周期で循環する.}} \\\\  $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{余りを考慮する整数値漸化式}}は,\ \textbf{\textcolor{red}{合同式で余りの漸化式に変換}}する. 漸化式で定義される整数の数列の性質は,\ 一般項を求めてもわからない. \\ 本問に至っては,\ 一般項を求めようとすると虚数まで登場する. \\ よって,\ \bm{整数値漸化式は,\ 漸化式のまま考える}ことになる. \\[1zh] 整数値漸化式の倍数・余りの問題では,\ \bm{余りが循環する}ことがポイントになる. \\ 本問のような隣接3項間漸化式では,\ n番目の整数は前2つの項に依存して定まる. \\ よって,\ \bm{n番目の整数の余りも前2つの項の余りに依存}して定まる. \\ つまり,\ a_1の余りとa_2の余りでa_3の余りが決まるのである.\ 以降も同様である. \\[1zh] 例として,\ 3で割った余りを考えると,\ 0,\ 1,\ 2の3種類しかない. \\ この3数から2数(重複可)を選んで並べるときの場合の数は,\ 3^2=9通りである. \\ よって,\ a_{10},\ a_{11}までに必ずa_1,\ a_2の余りと同じ並びが現れる. \\ 一旦\bm{a_1,\ a_2の余りと同じ並びが現れると,\ 以降は循環する}のである. \\[1zh] 余りだけ考慮するのであれば,\ \bm{合同式}が有効である. \\ a_nの余りをr_nとし,\ 元の漸化式を余りの漸化式に変換すると見通しがよくなる.  $a_nを2で割った余りをr_nとする.  $よって,\ {1,\ 1,\ 0が循環}する.$ \\[.2zh]  $ゆえに,\ a_nが偶数となるための条件は,\ \bm{nが3の倍数であること}である.$ \\\\ まず,\ 余りに関する漸化式に変換する.\ 3\equiv1,\ 7\equiv1\pmod2も適用した. \\ 後は,\ \bm{r_1,\ r_2と同じ並び1,\ 1が現れるまで書き出していく}とよい. \\ 2で割ったときの余りは0,\ 1しかなく,\ その並びはわずか2^2=4通りである. \\ よって,\ r_5,\ r_6までに必ずr_1,\ r_2と同じ並びが現れるはずである. \\ r_4,\ r_5が1,\ 1となるからここから循環する.\ よって,\ 周期は3である. \\ 周期3のうち,\ 3番目が0であり,\ これが偶数である.