白玉6個,\ 赤玉5個,\ 青玉4個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出す.
このとき,\ 次の確率を求めよ.
(1)\ \ 白玉が2個以上含まれる確率
(2)\ \ 玉の色が2色である確率 \\
余事象の確率 \\
$事象Aに対し,\ Aが起こらない事象をAの余事象といい,\ \overline{A\ と表す.$
$このとき,\ 全事象Uの確率 P(U)=P(A)+P(\overline{A})=1$
$この等式により,\ P(A)とP(\overline{A})\ の一方が求まれば他方も求まる.$
$要は,\ 直接求めにくい事象の確率は,\ 他方を求めて1から引けばよいわけである.$
$特に,\ 「～でない」「少なくとも～」は余事象の確率を求めた方が早いことが多い.$ 白玉がちょうど1個}含まれる確率
確率の問題は,\ 常に余事象の確率を求めるほうが効率的ではないかと疑ってかかる}べきである.
本問の場合も,\ 白玉の個数のパターンが少ない余事象の確率を求めるほうが楽である.
玉の色が1色になる場合は,\ 「白4個」「赤4個」「青4個」}の3パターンである.
玉の色が3色になる場合は,\ 以下の3パターンである.
「白2個,\ 赤1個,\ 青1個」「白1個,\ 赤2個,\ 青1個」「白1個,\ 赤1個,\ 青2個」}
玉の色が2色の場合を直接的に求める方法も簡潔に示しておく.
玉の色が2色の場合,\ まず色パターンが3通りある.
その3通りのそれぞれに対し,\ 個数パターンが3通りある(3個,\ 1個),\ (2個,\ 2個),\ (1個,\ 3個). \\サイコロを3回投げ,\ 1回目に出る目を$a$,\ 2回目に出る目を$b$,\ 3回目に出る目を$c$と
するとき,\ $(a-b)(b-c)(c-a)=0$となる確率を求めよ. \\
a,\ b,\ c$のうち少なくとも2つが同じ数字}となればよい.
$a,\ b,\ c$がすべて異なる}確率は
問題に「～でない」「少なくとも～」という表現がなくても,\ うまく言い換えると現れることがある.
(a-b)(b-c)(c-a)=0\ ⇔\ a-b=0\ または\ b-c=0\ または\ c-a=0
(a-b)(b-c)(c-a)=0}\ ⇔\ a=b\ または\ b=c\ または\ c=a
(a-b)(b-c)(c-a)=0}\ ⇔\ a,\ b,\ cのうち少なくとも2つは同じ数字
2個のサイコロを同時に振るとき,\ 少なくとも1個は1の目が出るか,\ または少なくとも}
1個は素数の目が出る確率を求めよ. \\
$A:「少なくとも1個は1の目が出る」,\ B:「少なくとも1個は素数の目が出る」$とする.$[\,1-(2個とも1,\ 4,\ 6の目が出る確率)
ド・モルガンの法則 A∪ B}= A∩ B A∩ B}= A∪ B}
P( A∩ B)は,\ 「\,2個とも1以外の目が出る」かつ「\,2個とも素数以外の目が出る」}である.
言い換えると,\ 「\,2個とも2\,～\,6の目が出る」かつ「\,2個とも1,\ 4,\ 6の目が出る」である.
つまりは,\ 「\,2個とも4,\ 6の目が出る」}であり,\ (4,\ 4),\ (4,\ 6),\ (6,\ 4),\ (6,\ 6)の4通りある.
なお,\ 素数の定義は「正の約数が1と自分自身の2個である自然数」である.
1は正の約数が1の1個のみであるから素数ではない.\ また,\ 2は唯一の偶数の素数である.
直接的に求めようとすると別解のようになるが,\ P(A)とP(B)を求める際は余事象を利用した.
ちなみに,\ サイコロ2個の問題は表を作成して36通りすべて調べるという強力な最終手段がある.
