正方形ABCDがあり,\ この順を正の向き,\ 逆を負の向きとする.\ 最初頂点Aにある動点
Pは1秒ごとに次の頂点に移る.\ 正の向きに次の頂点に移る確率は$23$,\ 逆の負の向き
に次の頂点に移る確率は$13$とするとき,\ $n$秒後に動点Pが頂点A,\ B,\ C,\ Dにある確
率をそれぞれ求めよ. 確率漸化式(偶数回と奇数回で場合分け) \\
$n$秒後に動点Pが頂点A,\ B,\ C, Dにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする.
$k$を自然数とする.
初項$a_2}-12=49}-12=-1}{18}$,\ 公比$-19$の等比数列である. n=2k-1$\ ($n$が奇数)}のとき
頂点A,\ B,\ C,\ D}という4状態を行き来する問題である.
当然,\ 4つの漸化式を連立する必要などなく,\ 問題の構造を見抜けるかが問われている.
本問は,\ 1秒ごとに必ず他の頂点に移動する.
同じ状態に留まることがない場合,\ 特定の回に特定の状態のみをとることが起こりやすい.}
実際,\ 動点Pは,\ 偶数秒後は頂点A,\ Cの一方,\ 奇数秒後は頂点B,\ Dの一方にある.}
A\ →\ (B\ or\ D)\ →\ (A\ or\ C)\ →\ (B\ or\ D)\ →\ (A\ or\ C)}\ →\ ･･････}
結局,\ 偶数秒後と奇数秒後で場合分けし,\ 2秒分の移動をワンセットで考える}ことになる.
場合分けにより,\ 基本的な2状態の確率漸化式の問題となる.
最終的に,\ 1つおきの特殊解型漸化式}に帰着する.\ 基本的には普通の特殊解型漸化式と同様である.
ただし,\ 第2k項が最初からk番目の項である(第2k項までの項数はk個である)ことに注意する.
c_n\,は1-a_n\,によって求められる.\ \ nが奇数の場合も同様である.
練習のため,\ 4つの漸化式を連立する方法も示す.\ 対称型の連立漸化式と同様に和と差で組み直す.}
nをn+1にずらす}ことでb_n,\ d_n\,を消去する.
片面が白色,\ もう片面が黒色のカードが3枚あり,\ 3枚とも白色の面を表にして横一列
に並べてある.\ \ 3枚のうちから1枚を無作為に選んで裏返すという操作を$n$回繰り返し
たとき,\ ちょうど1枚のカードだけ黒色の面が表になっている確率$p_n$を求めよ. \\
1回の操作で,\ 黒色の面が表のカードは1枚増えるか1枚減るかのどちらかである.
ちょうど1枚のカードだけ黒色の面が表となるのは,\ 操作を奇数回行ったとき}である.
$k$を自然数とする.
n=2k\ (nが偶数)}$のとき $p_{2k}=0$n=2k-1\ (nが奇数)}$のとき
黒色の面が表のカードの枚数をXとする.
Xの値は,\ 表が白色のカードを裏返すと+1,\ 表が黒色のカードを裏返すと-1される.
[\,X=0\,][\,X=1\,][\,X=2\,][\,X=3\,]の4状態を行き来するが,\ 同じ状態に留まることはない.}
奇数回の操作後のXは必ず奇数(1か3),\ 偶数回の操作の後のXは必ず偶数(0か2)}となる.
結局,\ 奇数回の操作後のXのみを考えればよく,\ 基本的な2状態の確率漸化式の問題となる.
最初の1回の操作後には黒色の面が表のカードは必ず1枚になるから,\ p_1=1である.
正三角形ABCがあり,\ この順を正の向き,\ 逆を負の向きとする.\ 最初頂点Aにある動点
Pが,\ 1秒ごとに$16$の確率でその頂点に留まり,\ $23$の確率で正の向きに次の頂点に
移り,\ $16$の確率で負の向きに次の頂点に移るとき,\ $n$秒後に動点Pが頂点Aにある確
率を求めよ.
動点Pが$n$秒後に頂点A, B,\ Cにいる確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする.
偶数回と奇数回で場合分けする問題ではないが,\ 2つおきの漸化式に帰着する}のでここで取り上げた.
対等性・対称性がありそうだが,\ すぐには利用できないのでとりあえず3状態の漸化式を作成する.
確率の和が1である}ことと,\ a_{n+1}\,への推移におけるa_n\,とb_n\,の対等性}を利用して変形する.
b_n\,とc_n\,が対等であったならば,\ この時点でa_n\,のみの漸化式ができ,\ 万事解決するのであった(前項).
しかし,\ 本問の場合はc_n\,で表すことしかできず,\ b_{n+1}\,とc_{n+1}\,も同様に変形して連立することになる.
漸化式を普通に連立するとき,\ nをn+1にずらして代入する必要がある.
本問の場合はnをn+2にずらして2段階で代入}すると,\ a_n\,のみの漸化式となる.
2つおきの漸化式}なので,\ n=1,\ 4,\ ･･･\,とn=2,\ 5,\ ･･･\,とn=3,\ 6,\ ･･･\,の3つに場合に分ける.
