4人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は次の回からは
参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\
(1)\ \ 1回目で勝者が決まる確率を求めよ.
(2)\ \ 2回目で勝者が決まる確率を求めよ. \\
n}$回のじゃんけんで勝者が決まる確率 \\
(1)\ \ $4人}が1回じゃんけんして1人が勝つ}確率は
(2)\ \ $4人}が1回じゃんけんして2人が勝つ}確率は 4人}が1回じゃんけんして3人が勝つ}確率は 4人}が1回じゃんけんしてあいこ}になる確率は 2人}が1回じゃんけんして1人}が勝つ確率は 3人}が1回じゃんけんして1人}が勝つ確率は
n回のじゃんけんで「\,1人の勝者を決める」や「順位を決める」問題は,\ 人数の推移に着目}する.
1回のじゃんけんで○人から○人に推移する確率は,\ 全てじゃんけんの基本公式\,C nk×3}{3^n\,で求まる.
人数の推移を考慮}し,\ 1回ごとの確率を掛ければよい(各回の試行は独立}).
最後に,\ それぞれの推移パターンの確率(互いに排反})を足し合わせる.
(2)\ \ 2回目で勝者が決まるときの人数の推移パターンは以下の3通りである.
\ \ 結局,\ 6通りの人数の推移(4→2,\ 2→1,\ 4→3,\ 3→1,\ 4→4,\ 4→1)の確率を求めればよい.
3人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は次の回からは
参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\
(1)\ \ $n$回目で勝者が決まる確率を求めよ.
(2)\ \ $n$回目までに勝者が決まる確率を求めよ. \\
3人}が1回じゃんけんして1人が勝つ}確率は
人数の推移は\ 3→1,\ 3→2,\ 3→3,\ 2→1,\ 2→2\ がありえる.
$3人じゃんけんでは\ (1人が勝つ)=(2人が勝つ)=(あいこ)=13}\ となることは覚えておくとよい.$}
n回目で勝者が決まる人数の推移は以下の2パターンがあり,\ 互いに排反}である.
何回目で2人になるかは,\ 1回目,\ ･･･,\ n-1回目のn-1通り}があるから,\ n-1倍する.
(ii)}\ \ 上の解答では少し丁寧に記述した.
(ii)}\ \ k回目に「\,3→2\,」}が起こるとすると,\ k-1回目までは「\,3→3\,」が起こる.
(ii)}\ \ さらに,\ k+1回目からn-1回目までは「\,2→2\,」が起こる.
(ii)}\ \ これは,\ (n-1)-(k+1)+1=n-k-1回}ある.\ +1がなければk+1回目も除かれる. \\n$回目まで3人のまま}である確率は n$回目までに2人になり,\ その後2人のまま}である確率は 求める確率は以下であり,\ これを$S$とする. \
余事象(n回じゃんけんしても1人にならない)の確率}を利用して求めるると簡潔に済む.
n回じゃんけんしても勝者が決まらない人数の推移は以下の2パターンがあり,\ 互いに排反}である. \\何回目で2人になるにせよ確率は13^nである.
(ii)}\ \ 何回目で2人になるかは,\ 1回目,\ ･･･,\ n回目のn通り}があるから,\ n倍する.
(1)を利用し,\ (1回目で決まる)+･･･+(n回目で決まる)}としても求まるが大変である(別解).
(等差)×(等比)の和}となり,\ 数 B:数列の知識が必要になる.
この和は,\,S-rS法(公比を掛けたものをずらして引くと等比数列の和に帰着)}で求まるのであった.
初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 a(1-r^n)}{1-r}
