サイコロを1回振る.\ 事象Aと事象Bが互いに独立か従属かを調べよ.
(1)\ \ $A:「\,3の倍数の目が出る」, B:「\,4以上の目が出る」$
(2)\ \ $A:「\,2の倍数の目が出る」, B:「\,4以上の目が出る」$ \\
事象の独立(上級者用) \\
すでに「試行の独立」について学習済みである.
例えば,\ サイコロを2回振るとき,\ 1回目と2回目の試行は明らかに独立である.
この場合,\ $A:$「\,1回目に3の倍数が出る」,\ $B:$「\,2回目に4以上の目が出る」とするとき,
$P(A∩ B)=P(A)P(B)=13･12=1}{6}$と求められるのであった(独立試行の乗法定理).
実は,\ 独立には「試行の独立」と「事象の独立」があり,\ 数Aでは「試行の独立」のみ学ぶ.
「試行の独立」は常識で判断できるが,\ 「事象の独立」の判断は厄介だからである.
思わぬ失点を避けるため,\ 上級者は「事象の独立」も理解しておくことが望ましい.
2つの試行$S,\ T$が独立ならば,\ 当然$S$で起こる事象$A$と$T$で起こる事象$B$も独立である.
本項で考えるのは,\ 1つの試行における事象$A}$と事象$B}$が独立か否かである.
2つの事象$A,\ B$について$P_A(B)=P(B)$が成り立つとき,\ 事象$A,\ B}$は独立であるという.}
確率の乗法定理$P(A∩ B)=P(A)P_A(B)$より,\ $P(A∩ B)=P(A)P(B)$と同値である.
$P_A(B)=P(B)が成り立たないとき,\ 事象A,\ Bは従属であるという.$
具体的な問題でその意味合いを理解しよう.
P(A∩ B)=P(A)P(B)}$
∴ 事象Aと事象Bは独立である.}$} \\
∴ 事象Aと事象Bは従属である.}$}
独立か従属かの判断方法は,\ 「P(A∩ B)=P(A)P(B)が成り立つかを調べる」}ことである.
P_A(B)=P(B)でもよいが,\ P(A∩ B)=P(A)P(B)のほうが汎用性が高い.
つまり,\ P(A∩ B)とP(A)P(B)を別々に求めて,\ 一致するか否かを調べる}ことになる.
数 Aの問題を解く場合でも注意すべきは,\ P(A∩ B)=P(A)P(B)\ ･･･\,①の利用についてである.
P(A∩ B)とP(A)P(B)を求めてみて初めて,\ ①が成り立つか否かがわかる.}
故に,\,1つの試行の2つの事象A,\,BについてP(A∩ B)を求めるとき,\ 原則①を使うべきでない.}
例えば,\ 「(1)の事象A,\ BについてP(A∩ B)を求めよ」という問題が出題されたとしよう.
このとき,\ P(A∩ B)=P(A)P(B)=13･12=16\,と解答するのは非常に危険}である.
答えはたまたま合うが,\ 記述試験では正答とは認められない可能性が高い.
仮に(2)の事象A,\ Bについて同様の方法でP(A∩ B)を求めると,\ もはや答えも合わない.
(1)の事象A,\ Bは独立,\ (2)の事象A,\ Bは従属と判明したが,\ 直感的に納得できるだろうか.
サイコロを1回振って4以上の目が出る確率は,\ 当然P(B)=12\,である.
「\,3の倍数の目が出る」という条件付きで4以上の目が出る確率P_A(B)を考える.
3の倍数の目は2通り,\ その中で4以上の目は1通りあるから,\ P_A(B)=12\,である.
このように,\ 4以上の目が出る確率は,\ 条件「\,3の倍数の目が出る」の有無によらず等しくなる.}
これは,\ 2つの事象「\,3の倍数の目が出る」と「\,4以上の目が出る」が独立}であることを意味する.
一方,\ 「\,2の倍数の目が出る」という条件付きで4以上の目が出る確率は,\ P_A(B)=23\,である.
これは,\ 4以上の目が出る確率P(B)=12\,と一致しない.
条件「\,2の倍数の目が出る」の有無で4以上の目が出る確率が変わるから,\ 2つの事象は従属である.
要素数の比を面積の比で表した図}を書くと視覚的に理解できる.
(1)は完全に「田」}になるので,\ P(B)=n(B)}{n(U)}\,とP_A(B)=n(A∩ B)}{n(A)}\,が一致する.
事象Aが起こるか否かが事象Bの確率に影響を与えない}から,\ 事象Aと事象Bは独立}である.
一方,\ (2)は「田」にならないので,\ P(B)≠ P_A(B)となる.
2つの事象$A,\ B$が独立であるとする.
(1)\ \ $A$と$ B$も独立であることを示せ.
(2)\ \ $ A$と$ B$も独立であることを示せ. \\
P(A∩ B)=P(A)P(B)}$が成り立つとき,\ $P(A∩ B)=P(A)P( B)}$も成り立つことを示す.}=P(A)\{1-P(B)\}
(1)\ \ P(A∩ B)=P(A)-P(A∩ B)\ はベン図で考えるとよい.\ 最後,\ P(B)+P( B)=1を利用する.
(2)\ \ ド・モルガンの法則 A∩ B=A∪ B}
確率の性質に関する抽象的な問題では,\ 文字で設定してより具体的に考える方法も有効である.
1回投げて表が出る確率が$p\ (0
