A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3勝したほうを優勝とする.
1回の試合でAが勝つ確率が$13$であるとき,\ 次の確率を求めよ.
(1)\ \ 3回の試合で優勝が決まる確率
(2)\ \ Aが優勝する確率 \\
反復試行の確率（先に$k}$回勝つ） \\
(1)\ \ Aが3連勝で優勝}する確率は{Bが3連勝で優勝}する確率はAが3連勝で優勝}する確率は Aが3勝1敗で優勝}する確率はAが3勝2敗で優勝}する確率は
(1)\ \ 3回の試合で優勝が決まるには,\ どちらかが3連勝するしかない.
\ \ 「\,Aが優勝する」と「\,Bが優勝する」}は互いに排反}でなので,\ 別々に求めて足す.
(2)\ \ 通常の反復試行と異なるのは,\ 試行の総回数が決まっていない}ことである.
\ \ 本問の場合,\ 最低3回,\ 最大5回}試行することになる.
\ \ 総回数が異なる場合は互いに排反}なので,\ 3回,\ 4回,\ 5回の場合の確率を別々に求めて足す.
\ \ 4回で決まるのは,\ Aが3勝1敗となる場合である.
\ \ このとき,\ C4313^3-.3zw}23とするのはよくある誤り}である.
\ \ C43\,は A\,3個と B\,1個の並べ方の総数なので,\ AAAB}\ (3回で終了)\ も含まれてしまうのである.
\ \ ちょうど4回で Aが優勝するためには,\ 最後の1回(4回目)が必ずA}でなければならない.
\ \ よって,\ 最後の1回(4回目)を分けて考える}必要がある.
\ \ 結局,\ 最初の3回はbf Aが2勝1敗で,\ かつ4回目にbf Aが勝つ確率を求める}ことになる.
\ \ 具体的には,\ AABbar A,\ \ ABAbar A,\ \ BAAbar A}\ である.
\ \ 最初の3回で Aが2勝1敗となる確率は,\ 普通の反復試行\ C3213^223である.
\ \ これに4回目に Aが勝つ確率\,13\,を掛ければよい.
\ \ ちょうど5回で優勝が決まる場合も同様である. \rei\ \ ABBAbar A,\ \ BABAbar A}
\ \ 最初の4回はbf Aが2勝2敗で,\ かつ5回目にbf Aが勝つ確率を求める.}
A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3連勝したほうを優勝とする.
1回の試合でAが勝つ確率が\ $13$\ であるとき,\ 次の確率を求めよ.
(1)\ \ 4回の試合で優勝が決まる確率
(2)\ \ 7回の試合でAが優勝する確率 \\
反復試行の確率（先に$k}$回連続して勝つ） \\
(1)\ \ 1回目にBが勝ち,\ 2回目からAが3連勝}する確率は 回目にAが勝ち,\ 2回目からBが3連勝}する確率は
(2)\ \ [1]\ \ Aが最初の3回で3勝すると,\ 3回目でAの優勝が決まってしまう.
[2]\ \ Aが最初の3回で2勝1敗}となる確率はが1回目で1敗し,\ 2\,～\,3回目で1勝1敗}となる確率は
[4]\ \ Aが最初の3回で3敗すると,\ 3回目でBの優勝が決まってしまう.
4回目はBが勝ち,\ 5回目からAが3連勝}すればよいから
勝利条件が連勝になるとパターンが複雑になり,\ 単純な計算のみで求めることは難しくなる.
書き出しながら慎重に思考し,\ 条件を満たパターンをすべてあぶり出すことになる.
(1)\ \ 各回で勝つ人を左から順に並べると,\ 1回目BAAA}またはABBB}の2パターンしかない.
(2)\ \ Aでも Bでもよいことを＊で表すとすると,\ 基本的には\ ＊＊＊BAAA}となればよい.
\ \ ただし,\ 7回目以前に優勝が決まってしまう場合を除外する}必要がある.
\ \ まず,\ AAABAAAとBBBBAAA}となると3回目で優勝が決まってしまう.
\ \ よって,\ 最初の3回は Aの2勝1敗または1勝2敗でなければならない.
\ \ 2勝1敗となるとき,\ AABBAAA,\ ABABAAA,\ BAABAAA}のいずれも問題の条件を満たす.
\ \ 1勝2敗となるとき,\ BBABAAA,\ BABBAAAは条件を満たすが,\ ABBBAAA}は満たさない.
