3と9、4と8、6と12の倍数(余り)の判定法

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3の倍数}各位の和が3の倍数 {9の倍数}各位の和が9 の倍数  原理を4桁の整数$abcd${「各位の和が3の倍数」が条件}である.「各位の和が9の倍数」が条件}である.$} 4桁の整数の場合を示したが,\ 何桁でも同じである. まず,\ 4桁の整数abcdは,\ 数式で表現すると\ {1000a+100b+10c+d}\ である. 具体例を挙げると,こうして,\ {1桁の自然数a,\ b,\ c,\ dを用いて4桁の自然数を表せる}のである. 整数をこのような数式で表現できない人が意外に多いので,\ よく確認して欲しい. なお,\ 一般化する場合,\ 文字が足りなくなるので次のように添え字で表現する. 3,\ 9の倍数条件を考えるには,\ {1000=999+1}等と分解し,\ {3,\ 9でくくり出す.} くくり出した部分は3,\ 9の倍数であるから,\ 残りが3,\ 9の倍数であればよい. 実質同じだが,\ {合同式}を学習済みならば,\ 非常に簡潔に示すことができる この判定法は暗記必須である.\ {原理を理解した上で暗記}しておく. 整数分野はもちろん,\ 場合の数・確率分野でもよく問われる. また,\ 計算力が高い人は,\ {単純計算においても利用}している. 例えば,\ {8916}{33}\ が約分できるか否かを瞬時に判断できる. 分母は明らかに3の倍数であるから,\ 分子が3の倍数でないかを判定する. 各位の和を計算するとき,\ 明らかに{3の倍数である+9と+6は無視}できる. 結局,\ 8+1=9=(3の倍数)だけで,\ 8916が3の倍数であることがわかる. さらに,\ 倍数の判定は,\ より一般的に{余りの判定}と考えておくと応用が利く. 4桁の整数abcdを3,\ 9で割ったときの余りを求めるとする. このとき,\ {a+b+c+dを3,\ 9で割ったときの余りを求めればよい.} \3596を3で割った余りは,\ 5を3で割った余り2に等しい(3,\ 9,\ 6は無視). 倍数条件は,\ {余りを0とした特殊な場合}だったのである. 4の倍数}下2桁が4の倍数 {8の倍数}下3桁が8の倍数  原理を5桁の整数$abcde$で示す. $ 10d+e,\ つまり{「下2桁が4の倍数」が条件}である.$} $ 100c+10d+e,\ つまり{「下3桁が8の倍数」が条件}である.$} であることが根幹にある. つまり,\ それより上の桁は全て4,\ 8で割り切れることになる. なお,\ 「下2桁が4の倍数」には{00も含まれる}ことに注意して欲しい. 2の倍数条件が「下1桁が2の倍数」であることも考慮すると規則性が見えてくる. ちなみに,\ 16の倍数条件は「下4桁が16の倍数」である.(10000=62516) 次のように考えるとより本質的である. よって,\ 2の累乗と同様に  5の倍数条件 「下1桁が5の倍数」 25の倍数条件 「下2桁が25の倍数」 125の倍数条件 「下3桁が125の倍数」 実質同じだが,\ {合同式}で表現すると簡潔である. {6の倍数}{1}2の倍数\ かつ\ 3の倍数 {12の倍数}3の倍数\ かつ\ 4の倍数 {合成数の倍数条件}は,\ 基本的には{「互いに素な数の倍数」}と考える. 6=23\ より,\ 「2の倍数かつ3の倍数」 12=2²3\ より,\ 「4の倍数かつ3の倍数」 「互いに素」とは,\ {1以外の公約数をもたない}ことを意味する. よって,\ 12の倍数条件を「2の倍数かつ6の倍数」とするのは{誤り}である. 例えば,\ 6や18であっても,\ 「2の倍数かつ6の倍数」といえる. では,\ 30=235の倍数条件はどうなるだろうか. 素直に考えれば,\ 「2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数」だが,\ 次でもよい. 「6の倍数かつ5の倍数」「3の倍数かつ10の倍数」「2の倍数かつ15の倍数」 状況に応じて考えやすいものを選択することになる.
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