原点を出発点とし,\ $x$軸上を動く点Aがある.\ サイコロを1回振って3以上の目が
出ると正の向きに1進み,\ 2以下の目が出ると負の向きに1進む.
サイコロを6回振るとき,\ 次の確率を求めよ.\ (4)は条件付き確率の既習が前提である.
(1)\ \ 点Aが6回目に$x=5$にいる確率
(2)\ \ 点Aが6回目に$x≦2$にいる確率
(3)\ \ 点Aが2回目に原点に戻り,\ かつ6回目に原点に戻る確率
(4)\ \ 点Aが6回目に原点に戻ったとき,\ 2回目にも原点に戻っていた確率
(5)\ \ 点Aが途中で少なくとも1回原点に戻り,\ かつ6回目にも原点に戻る確率 \\
反復試行による直線上の点の移動(ランダムウォーク) \\
(1)\ \ 6回振るとき,\ 3以上の目が$x$回出る}とする.
このとき,\ 点Aの座標は となる自然数xは存在しない}から,\ 求める確率は\ \ 0}$ \\
(2)\ \ $2x-6=2(x-3)$は偶数}であるから,\ 6回目に$x=(奇数)$にいることはない.
よって,\ $x≦2$の余事象は$x=4,\ 6$}であり,\ \ $2x-6=4,\ 6}$のとき,\ $x=5,\ 6}$である.
(3)\ \ 3以上の目と2以下の目が同じ回数出るとき,\ 原点に戻る. \
(4)\ \ 6回目に原点に戻る事象を$A$,\ \ 2回目に原点に戻る事象を$B$とする.
(5)\ \ 1\,～\,5回目に1回も原点に戻らない事象を$C$とする.
右下図の4通り}の経路を辿るとき,\ 6回目にはじめて原点に戻る.}
サイコロを繰り返し振るとき,\ 各回は独立であるから反復試行}となる.
実際の試験では,\ 単に公式\,C nrp^r(1-p)^{n-r}\,に当てはめれば済む問題の出題率は低い.
自ら公式を導けるレベルの理解がなければ実戦では通用しない.
(1)\ \ 結果だけでも満点をもらえるかもしれないが,\ 数式で明確に理由を示しておくことが望ましい.
\ \ 本問程度ならばともかく,\ より条件が複雑になると数式表現が必須となる.
(2)\ \ 実は,\ x=5だけでなくx=(奇数)にいる確率がすべて0であることを容易に示せる.
\ \ (1)の時点でこれを示してもよかった.\ 後は,\ 余事象を利用して求めるとよい.
(3)\ \ 最初の2回とそれ以降の4回に分けて考える.\ 一応数式で求めておくと以下となる.
\ \ 2回目に原点に戻るのは,\ 1･ x+(-\,1)(2-x)=2x-2=0より,\ x=1のときである.
\ さらに,\ 2回目終了時点から4回目に再び原点に戻る必要がある.
\ 1･ x+(-\,1)(4-x)=2x-4=0より,\ x=2のときである.
(4)\ \ 6回目に原点に戻るのは,\ 2x-6=0より,\ x=3のときである.
\ \ 後は,\ 条件付き確率の基本公式を適用すれば済む.
(5)\ \ 「少なくとも～」なので余事象を求めたくなる.
\ \ しかし,\ 「\,6回目に原点に戻る」条件もあるので,\ 単に余事象を求めれば済むわけではない.
\ \ 6回目に原点に戻る事象を全体とし,\ その中からさらに途中で1回も戻らない事象を除けばよい.}
\ \ 「\,6回目に原点に戻り,\ かつ途中で一回も戻らない」は,\ 「\,6回目に\dot{は}\dot{じ}\dot{め}\dot{て}原点に戻る」}である.
\ \ このような複雑な条件を何の工夫もせずに扱おうとすると,\ 見落としなどのリスクが高くなる.
\ \ この場合,\ 横軸を回数,\ 縦軸を位置とした推移図を作成する}という優れた手法があるのであった.
\ \ 事象の推移が一目瞭然となり,\ 場合の数で学習した最短経路問題に帰着}する.
\ \ 後は,\ 和の法則に基づく書き込み}を行うと,\ 経路数が4通りであるとわかる.
\ \ 4通りの経路はいずれも,\ 確率\,23\,の\,\NE\,が3個,\ 確率\,13\,の\,\SE\,が3個ある.
\ \ 上級者用に一般化について簡単に説明しておく.\ 以下,\ mは偶数とする.
\ \ 一般に,\ 原点から(n,\ n)までの最短経路(y≦ x)の総数は\,c_n=C{2n}{n{n+1}\,通り}ある.
\ \ 詳細は場合の数分野のカタラン数c_n}\,の項目を参照してほしい.
\ \ 本問の図において,\ 原点\,→\,(1,\ 1)\,→\,(5,\ 1)\,→\,(6,\ 0)と(1,\ 1)\,→\,(5,\ 1)の経路数は等しい.
\ \ よって,\ 実質的には(1,\ 1)\,→\,(5,\ 1)の経路数さえ考えればよく,\ これはc_{5-1}{2=c_2\,通りある.
\ \ 同様に,\ 「\,m回目にはじめて原点に戻る」とき,\ (1,\ 1)\,→\,(m-1,\ 1)の経路数はc_{m-2}{2\,通りある.
\ \ よって,\ 下半分も考慮した総経路数は
