AとBの2人が,\ 1個のサイコロを次の手順により投げ合う.
1回目はAが投げる.
1,\ 2,\ 3の目が出たら,\ 次の回には同じ人が投げる.
4,\ 5の目が出たら,\ 次の回には別の人が投げる.
6の目が出たら,\ 投げた人を勝ちとし,\ それ以降は投げない.
(1)\ \ $n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ.
(2)\ \ ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ.
(3)\ \ $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ. [\,一橋大\,] 確率漸化式($2状態+途中で終了}$) \\
(1)\ \ $n$回目にBがサイコロを投げる確率を$b_n$とする. $n+1$回目にAがサイコロを投げるのは次の2つの場合であり,\ 互いに排反である. n回目にA}が投げ,\ 1,\ 2,\ 3の目が出る.}$
n回目にB}が投げ,\ 4,\ 5の目が出る.}
$n+1$回目にBがサイコロを投げるのは次の2つの場合であり,\ 互いに排反である.
n回目にB}が投げ,\ 1,\ 2,\ 3の目が出る.}$ \\n回目にA}が投げ,\ 4,\ 5の目が出る.}$
a_n+b_n\}$は,\ 初項$a_1+b_1=1+0=1$,\ 公比$56$の等比数列である.
$\{a_n-b_n\}$は,\ 初項$a_1-b_1=1-0=1$,\ 公比$16$の等比数列である.
$よって a_n+b_n=56^{n-1}, a_n-b_n=16^{n-1}$
基本的には,\ 前項で取り上げた問題と同様の2状態を行き来するタイプの確率}である.
しかし,\ n回目以前に勝敗が決まっている場合もありえるので,\ a_n+b_n=1が成立しない.}
単純にはa_n\,のみの漸化式の作成ができず,\ b_n\,の漸化式も作成して連立する}ことになる.
結局,\ 本問の場合は対称型の連立漸化式\
a_{n+1}=pa_n+qb_n
b_{n+1}=qa_n+pb_n
}-.5zw}となる. [-.5zh]
この型は,\ 和と差で組み直すと等比数列型漸化式に帰着する}のであった.
この解答は,\ 見かけ上は6の目が出て終了する場合を考慮していないようにも思える.
しかし,\ 実はその条件も数式に組み込まれている.\ 以下のようにとらえると納得できるだろう.
n回目前に終了しており,\ n回目に Aも Bも投げない確率をc_n\,とする.
c_n\,からa_{n+1},\ b_{n+1}\ (AやB}が投げる)に推移する確率は0である.
つまり,\ 以下の3式が成立するが,\ c_n\,を求めないのであれば,\ 下2式の連立のみで済むわけである. \\
実は,\ a_n+b_n\,は直接的に求めることができるので,\ a_n\,のみの漸化式の作成も可能である.
n-1回連続して6以外の目が出れば,\ n回目にAかB}が投げることになる.}
よって,\ a_n+b_n=56^{n-1}であり,\ これを利用すると指数型漸化式\ a_{n+1}=pa_n+r^n}\ が現れる.
この型は,\ r^{n+1}\,で両辺を割った後に置換する}と特殊解型漸化式に帰着する}のであった.
(置換のために指数と添え字をnでそろえた)
n回目$にAが投げ,\ 6の目が出る}確率である. q_n=p_1+p_2+･･････+p_n\,であり,\ Σ{}{}を用いると簡潔に表せる.
Σ{k=1}{n}r^{k-1}\,は,\ 初項1,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和}である.
初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 a(1-r^n)}{1-r
