以下2条件を満たす任意整数$x,\ y$から得られる実数$x+y√ 2$全体の集合を$G$とする.
(A)\ \ $x^2-2y^2=1$\ \ または\ \ $x^2-2y^2=-\,1$
また,\ 1より大きい$G$の要素のうち最小のものを$u$とする.示し,\ $u$を求めよ.
(2)\ \ 任意の2数$α,\ β\in G$に対して,\ $αβ\in G$が成り立つことを示せ.
(3)\ \ 任意の整数$n$に対して,\ $u^n\in G$が成り立つことを示せ.
(4)\ \ 逆に,\ 任意の数$g\in G$が$g=u^n\ (n:整数)$の形で表せることを示せ. \\
ペル方程式の解の構造 \\
ペル方程式$x^2-Dy^2=±\,1\ (D:平方数ではない自然数)$}の解の構造に関する証明問題である.}
本問から,\ $x^2-2y^2=±\,1$のすべての解が$(1+√2\,)^n$で作り出せる}ことがわかる.
ペル方程式はその対称性より,場合のみを考察対象とすれば十分なのであった.
この条件がと言い換えることができることの証明である.
\Longleftarrow\ は,\ まず共役な無理数x-y√ 2\,の範囲を考え,\ 2つの不等式を合体させる}とよい.
不等式の場合,\ 必ず和として合体させる}必要があることに注意する.
明らかにx,\ yの値が小さいほどx+y√2\,の値が小さい.\ 試しにx=y=1とすると条件を満たす.
を満たす解の中でx+y√ D\,を最小にする解をx^2-Dy^2=±\,1の最小解}という.
本問は,\ α,\ β\,がGの要素であるとき,\ その積\,αβ\,もGの要素となる}ことの証明である.
α,\ β\,を文字で設定して\,αβ\,を計算し,\ 集合Gの要素であるための条件を満たすかを確認すればよい.
つまり,\ αβ=A+B√2\,のとき,\ A^2-2B^2=±\,1,\ \ αβ=A+B√2>0\ を満たすことを確認する.
一般に,\ 指数法則
(1+√2\,)^n\,を計算していくことで,\ x^2-2y^2=±\,1の解を次々と作り出せるわけである.
(2)より,\ u\in Gのときu･ u=u^2\in Gが成り立つ.\ よって,\ u^2･ u=u^3\in Gも成り立つ.
これを繰り返せば,\ u^n\in G\ (n≧1)となるのはほぼ明らかであろう.
nは任意の整数であるから,\ nが負数の場合も考慮しなければならない.
u^{-1}\in Gさえ確認すれば,\ n≦-\,2のときはu^{-1}\,の自然数乗として直ちに示される.
g=u^n$の形で表せない$g\in G$が存在すると仮定}する.
$u>1$より$\{u^n\}$は単調増加数列なので,\ $u^k0を満たすものが\dot{す}\dot{べ}\dot{て}得られる}とわかる.
よって,\ x^2-2y^2=±\,1の解のすべてが± u^n\,から得られる.}
nを自然数とし,\ (1+√2\,)^n=x_n+y_n√ 2\ (x_n,\ y_n:自然数)とする.
このとき,\ (1-√2)^n=x_n-y_n√2\ と表されるのであった.
この2式を連立すると,\ x^2-2y^2=±\,1の\dot{す}\dot{べ}\dot{て}の自然数解(自然数の一般解)が得られる.
背理法}で証明するのがわかりやすい. となる(数II}:指数関数).
g=u^n\,とならないのであれば,\ gはどこかの間にあるはずである.\ 後の矛盾の示し方は定石である.
