確率の加法定理(排反)

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白玉6個,\ 赤玉5個,\ 青玉4個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出す. このとき,\ 次の確率を求めよ.  (1)\ \ 白玉が3個以上含まれる確率  (2)\ \ 同じ色の玉を2個ずつ2色含む確率 \\ 確率の加法定理事象$A,\ B}$が同時には起こらないとき,\ つまり$A∩ B=\varnothing$のとき,   事象$A,\ B$は互いに排反であるという.   事象$A,\ B}$が互いに排反であるとき,\ 確率の加法定理が成り立つ. 確率の加法定理が成り立つことはベン図から明らかであろう.\ 場合の数でも同様の公式があった. 事象A,\ Bが互いに排反}であるとき (AまたはBの確率)=(Aの確率)+(Bの確率)} 実際の確率の問題では,\ 起こりえるすべての事象を考え,\ 場合分けできるか}が問われる. このとき,\ 後から同時に起こりえるかを考えるのは筋が悪い. 最初から排反になるように場合分け}しておけば,\ 後は足すだけで済むのであった. (1)\ \ 「白玉3個」「白玉3個,\ 赤玉1個」「白玉3個,\ 青玉1個」と3つに場合分けしてもよい. \ \ ただし,\ 白以外の9個から1個選ぶと考えると,\ 後者2つをまとめて求められる.} \ \ また,\ 最後に通分して足すことを見越すと,\ 安易に約分したり分母の掛け算を行わない方がよい. \ \ 約分した解答を示したが,\ 実際には直ちに約分したわけではない. \ \ 3・5}{15・7・13},\ 5・4・9}{15・7・13}\,まで求めた後,\ 両方15で約分できることを確認した上で約分している. \ \ 「白玉3個,\ 白玉または赤玉または青玉1個」と考え,\ C63×C{12}{1{C{15}{4\,とするのは誤り}である. \ \ このような誤りは,\ 場合の数で学習した積の法則}の理解が不十分であることに起因する. \ \ m通りのAのいずれに対してもBがn通りあるとき,\,AかつBはmn通りある}のであった. \ \ \dot{異}\dot{な}\dot{る}\,6個の白玉から4個選ぶとき,\ C64\,と\,C63×C31\,では何が違ってくるだろうか. \ \ C64=15は,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_4)や(白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_5)などの組合せの総数である. \ \ 言うまでもなく,\ 例えば(白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_4)と(白_1,\ 白_2,\ 白_4,\ 白_3)は1通りの扱いである. \ \ C63=20は,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3)や(白_1,\ 白_2,\ 白_4)などの組合せの総数である. \ \ C63×C31\,は,\ 20通りのいずれに対しても残りの白玉1個の選び方が3通りあることを意味する. \ \ つまり,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3)に対しては白_4,\ 白_5,\ 白_6\,の3通りある. \ \ (白_1,\ 白_2,\ 白_4)に対しても白_3,\ 白_5,\ 白_6\,の3通りある.\ 他の組合せについても同様である. \ \ 要は,\,20×3とすると(白_1,\ 白_2,\ 白_3)+白_4\,と(白_1,\ 白_2,\ 白_4)+白_3\,を別に数えることになる. \ \ 主役と脇役を混在させてしまうと,\ このようなダブルカウントのリスクが高くなる.} \ \ 赤玉と青玉は両方とも脇役なのでまとめられるが,\ 主役の白玉までまとめて考えるべきではない. (2)\ \ 確率の加法定理は,\ 3つ以上の事象に対しても同様に成り立つ.
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高校数学A 確率
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