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数列:漸化式の学習が完了していることを前提としているからです。

確率漸化式は、受験では全分野の全パターンの中でも最重要のパターンに位置づけされる。特に難関大学における出題頻度は凄まじく、同じ大学で2年続けて出題されることも珍しくない。ここでは取り上げた問題は基本的なものであるが、実際には漸化式の作成自体が難しいことも多く、過去問などで演習が必要である。

特殊解型漸化式と対称型連立漸化式の詳細については、数列:漸化式の解法パターン で確認してほしい。

p1=3/5とありますが、a1=3/5の誤りですm(_ _)m

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箱の中に1から5の数字が1つずつ書かれた5個の玉が入っている.\\[.2zh] \hspace{.5zw}1個の玉を取り出し,\ 数字を記録してから箱の中に戻すという操作を \\[.2zh] \hspace{.5zw}$n$回繰り返したとき,\ 記録した数字の和が奇数となる確率を求めよ. \\ n回繰り返したとき,\ 数字の和が奇数となる確率をa_n}とする.$ \\[.5zh]  $n+1回繰り返したときに和が奇数となるのは,\ 次の2つの場合である.n回までの和が奇数で,\ n+1回目に偶数の玉を取り出す.}$ \\[.2zh]   [2]\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{n回までの和が偶数で,\ n+1回目に奇数の玉を取り出す.}1回後   2回後     $n回後    n+1回後 本問を直接考えようとすると,\ 上左図のような樹形図を考えることになる. \\ 1回,\ 2回,\ \cdots,\ と繰り返すにつれ,\ 考慮を要する場合が際限なく増えていく. \\ 直接n番目の確率を求めるのが困難であり,\ この場合\bm{漸化式の作成が有効}である. \\[1zh] n回後の確率をa_nとし,\ \bm{確率a_nが既知であるとして,\ a_{n+1}\ を求める式を立てる.} \\ つまり,\ \bm{n+1回後から逆にn回後にさかのぼって考える}のである. \\ すると,\ \bm{着目する事象に収束する場合のみ考えれば済む}ことになる. \\ 上右図のような,\ \bm{状態推移図}を書いて考えるのが普通である. \\[1zh] n回後の状態は,\ 「和が偶数」と「和が奇数」の2つに限られる. \\ この2つの状態で,\ \bm{すべての場合が尽くされている.}\ また,\ 互いに\bm{排反}である. \\ よって,\ 各状態を\ a_n,\ b_n\ とおくと,\ \bm{a_n+b_n=1}\ が成立する. \\ ゆえに,\ 文字数を増やさないよう,\ あらかじめ\ b_n=1-a_n\ として立式するとよい. \\ 確率漸化式では,\ 和が1を使うと,\ \bm{(状態数)-1を文字でおけば済む}のである. \\[1zh] 漸化式の作成が完了すると,\ 後は単なる数列の漸化式を解く問題である. \\ 二項間漸化式\ \bm{a_{n+1}=pa_n+q}\ 型は,\ \bm{特殊解型漸化式}である. \\ まず,\ \alpha=p\alpha+q\ として特殊解\ \alpha\ を求める. \\ すると,\ a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\ に変形でき,\ 等比数列型に帰着する. 正三角形ABCの各頂点を移動する点Pがある.\ 点Pは1秒ごとに$\bunsuu12$の \\[.2zh] \hspace{.5zw}の確率でその点に留まり,\ それぞれ$\bunsuu14$の確率で他の2つの頂点のいず \\[.2zh] \hspace{.5zw}れかに移動する.\ 点Pが頂点Aから移動し始めるとき,\ $n$秒後に点Pが \\[.2zh] \hspace{.5zw}頂点Aにある確率を求めよ. \\  \textcolor{red}{$n$秒後に頂点A,\ B,\ Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$}とする. \\[.5zh]  $n+1$秒後に頂点Aにあるのは,\ 次の3つの場合である. $n$秒後に頂点Aにあり,\ 次の1秒でその点に留まる.}n$秒後に頂点Bにあり,\ 次の1秒で頂点Aに移動する.} n$秒後に頂点Cにあり,\ 次の1秒で頂点Aに移動する.} 等比数列である. n秒後の状態は,\ \text{「Aにある」「Bにある」「Cにある」}の3つに限られる. \\ 左図が3つの状態の推移図,\ 右図が\ a_{n+1}\ への推移図である. \\ 推移がわかれば,\ 漸化式は容易に作成できる. \\ ここで,\ 3つの状態は互いに\bm{排反}であるから,\ \bm{和が1}である. \\ この式をうまく利用すると,\ b_n,\ c_n\,が一気に消え,\ 結局\,a_n\,のみの漸化式となる. \\[1zh] b_n,\ c_n\,が一気に消えたのはたまたまではなく,\ 真に重要なのは\bm{対等性}である. \\ 最初\text{A}にあり,\ 等確率で\text{B,\ C}に移動するから,\ \bm{\text{\textbf{B,\ C}}\,は完全に対等}である. \\ よって,\ \bm{b_n=c_n}\ が成り立つから,\ \bm{実質的に2つの状態}しかない. \\ 2状態から等式1つを用いて1状態消去すると,\ 1状態の漸化式になるわけである. \\ 確率漸化式の問題では,\ \bm{常に対等性を意識し,\ 状態を減らす}ことが重要である. AとBの2人が,\ 1個のサイコロを次の手順により投げ合う. [一橋大] \\[.5zh] \hspace{.5zw}  1回目はAが投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  1,\ 2,\ 3の目が出たら,\ 次の回には同じ人が投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  4,\ 5の目が出たら,\ 次の回には別の人が投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  6の目が出たら,\ 投げた人を勝ちとし,\ それ以降は投げない. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ.n$回目にBがサイコロを投げる確率を$b_n$とする. $n回目$にAが投げ,\ 6の目が出る}確率である. \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} n回目に\text{Aが投げる場合とBが投げる2つの状態があり},\ 互いに\bm{排反}である. \\ しかし,\ n回目までに勝敗が決まっている場合もあるから,\ a_n+b_n=1\ ではない. \\ よって,\ \bm{a_nとb_nの漸化式を2つ作成し,\ それを連立する}必要がある. \\ 本問の漸化式は,\ \bm{対称型の連立漸化式}\係数が対称)である. \\ \bm{和と差で組み直す}ことで,\ 等比数列型に帰着する.\ この型は誘導されないので注意. \\