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箱の中に1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$この箱から同時に4枚の番号札を取り出す.\ この4枚の札の中で,\ 最小$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$の番号が3である確率をP_Nとする.\ ただし,\ N\geqq6\ とする.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ P_N\ を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ P_N\ を最大にするNとその最大値を求めよ.   [宮城教育大]3以外の3枚の札を,\ 4番からN番のN-3枚の中から取り出せばよい. 最小の番号札3を選ぶことが確定済みなので,\ 残りの3枚を選べばよい. \\ \phantom{(1)}\ 4番からN番まではN-4枚(←4も除かれる)ではないので注意すること. \\[1zh] (2)\ P_N=\bunsuu{4(N-4)(N-5)}{N(N-1)(N-2)}\ の最大を考える. \\ \phantom{(1)}\ \bm{Nは整数}であることから,\ 結局は\bm{数列の最大を求める問題}に帰着する. \\ \phantom{(1)}\ 数列の最大最小は,\ \bm{隣り合う項P_NとP_{N+1}の大小関係}を考える. \\ \phantom{(1)}\ つまり,\ P_{N+1}\gtreqqless P_{N}\ となるNの範囲を調べると,\ P_N\,の最大・最小がわかる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \bm{隣り合う項の差\ P_{N+1}-P_N\,と0の大小を比較}するのが一法である. が成り立つからである. \\ \phantom{(1)}\ なお,\ P_{N+1}\,は,\ P_N\,のNにN+1を代入して得られる. \\ 以上からP_N\,の変化がわかり,\ 最大・最小が求まるのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \bm{一般項が和・差}の場合(\rei\ P_N=N^2+2N),\ \bm{P_{N+1}-P_N\,を考える.} \\ \phantom{(1)}\ しかし,\ 本問のように一般項が積・商の場合,\ これを計算するのが大変になる. \\ \phantom{(1)}\ 実際,\ は大変である. \\[2zh] \phantom{(1)}\ \bm{一般項が積・商の形ならば,\ 隣り合う項の比と1の大小を比較する}のがよい. これを元にP_N\,の大小関係を書き出すと,\ P_{11},\ P_{12}\,が最大であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ N\geqq6\,より,\ P_6\,から書き出せばよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ なお,\ 比の方法は,\ 一般項が0や負になりうる数列には安易に適用できない. \\ \phantom{(1)}\ 分母が0になることは許されないし,\ 負の分母をはらうと大小関係が逆になる. \\ \phantom{(1)}\ 確率分野では,\ 常に\,0\leqq P_N\leqq1\ であるから,\ あまり気にしなくてよい. \\ \phantom{(1)}\ ただし,\ =0になりえないかは一応確認しておいた方がよいかもしれない. \\ \phantom{(1)}\ 本問の場合,\ N\geqq6\ より,\ 常に\サイコロを50回投げるとき,\ 1の目が何回出る確率が最大となるか.$ \\ 1の目がk回出る確率をp_kとすると  1の目が出る回数を文字でおき,\ その確率(\bm{反復試行})を求める. \\ 後は,\ 前問と同様に隣り合う項の比と1の大小関係を考えればよい. \\[1zh] 本問の最大のポイントは,\ そもそも比の計算ができるかにある. \\ 分子の\left(\bunsuu16\right)^{k+1}\,と分母の\left(\bunsuu16\right)^k\,を約分すると,\ 分子に\,\bunsuu16\,が1個残る. \\[.5zh] 分子の\left(\bunsuu56\right)^{50-k-1}\,と分母の\left(\bunsuu56\right)^{50-k}\,を約分すると,\ 分母に\,\bunsuu56\,が1個残る. \\ 50-k-1\,より,\ 50-k\,の方が1大きいからである. \\[1zh] さらに厄介なのは\,\kumiawase nr\,の約分である. \\ \kumiawase nr\,において\bm{rに文字を含むとき,\ 階乗で表現する}ことになる. \\ \kumiawase nr=\bunsuu{n\kaizyou}{r\kaizyou(n-r)\kaizyou}\ の変形に慣れておく必要がある. kは整数より\ \ k\leqq7 \\[.8zh] \bunsuu{50-k}{5(k+1)}=1,\ つまり\ 2k=15\ となる整数kは存在しない. \\[.8zh] 結局,\ k\geqq8\,では\ \bunsuu{50-k}{5(k+1)}\ となるから,\ 8回が最大であるとわかる.