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40人の生徒に数学が好きかを尋ねたところ,\ 下表のようになった. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ 40人から無作為に1人選ぶとき,\ その人が数学好きの男子である \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 40人から無作為に1人選んだとき,\ その人は男子あった.\ この男子 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ が数学好きである確率を求めよ.  事象$A$が起こったとき,\ 事象$B$が起こる条件付き確率$P_A(B)$は  $「男子である」という事象をA,\ 「数学が好き」という事象をBとする. (1)と(2)の違いは,\ \bm{情報の有無}である. \\[1zh] (1)は,\ \bm{何の情報も得ていない時点での確率}である(普通の確率). \\ このとき,\ 全体の中で,\ 「男子かつ数学好き」の割合を求めることになる. \\ 全体40人中,\ 条件を満たす生徒は14人いるから,\ その確率は\ \bunsuu{14}{40}\ となる. \\[1zh] (2)は,\ \bm{男子という情報を得た時点での確率}である(\bm{条件付き確率}). \\ この場合,\ \bm{男子の中で,\ 数学好きである割合を求める}ことになる. \\ 男子であることが確定済みなので,\ 女子について考慮する必要はない. \\ 男子22人中,\ 条件を満たす生徒は14人いるから,\ その確率は\ \bunsuu{14}{22}\ となる. \\[1zh] (1)はP(A\cap B),\ (2)はP_A(B)であるが,\ この違いをベン図でとらえておく. \\ \bm{P(A\cap B)もP_A(B)も図の赤色の部分が対象}であることに変わりはない. \\ 異なるのは,\ \bm{何を全事象とするか}である. \\ P(A\cap B)の全事象はU,\ P_A(B)の全事象はAである. \\ 結局,\ \bm{P(A\cap B)とP_A(B)は,\ 分子は同じだが,\ 分母が異なる}のである. \\[1zh] \bm{Aが起こったという情報により,\ 全事象が縮む}のが条件付き確率の考え方である. \\ 確率は,\ \bm{情報を得るごとにより精度の高いものに変化していく}のである. \\ 本問では,\ 男子という情報により,\ \bunsuu{14}{40}=35\%\ から\ \bunsuu{14}{22}\kinzi64\%\ に変化した. \\[1zh] 本問のように要素数がわかる場合は要素数の比でよい. \\ 要素数が分からない場合,\ 次のように\bm{確率の比}で求めることになる. \AかつBの確率}{Aである確率}} 全校生徒のうち,\ 60\%が男子で,\ 数学好きな男子が40\%である. \\[.2zh] \hspace{.5zw}男子1人を選んだとき,\ その男子が数学好きである確率を求めよ. \\  $「男子である」という事象をA,\ 「数学が好き」という事象をBとする.確率の比}]$}}