一般化したほうの問題はかなり難易度が高く、二項定理などの知識も必要になるので全範囲の学習を終えてからでもよい。

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4人でじゃんけんを1回行うとき,\ あいこになる確率を求めよ.$ \\ まず,\ じゃんけんの確率の基本を確認する. \\ 人は区別でき,\ 1人につき3通りの手の出し方がある. \\ よって,\ \bm{n人がじゃんけんをするときの全事象は3^n\,通り}である. \\ また,\ k人が勝つ場合の数は,\ \bm{(誰が勝つか)\times(どの手で勝つか)}\ で求められる. \\ 誰が勝つかはn人からk人を選ぶ場合の数,\ どの手で勝つかは当然3通りである. \\[1zh] さて,\ \bm{あいこになる確率は余事象を利用して求める}のが基本である. \\ \bm{排反}な3つの事象「1人が勝つ」「2人が勝つ」「3人が勝つ」の余事象である. \\ よって,\ 3つの事象の確率を足し合わせた後,\ 1から引けばよい. \\[1zh] わかりやすいのは本解のほうだが,\ 一般化を考えると別解も重要である. \\ 4人の出した手が2種類であれば勝負が決まるから,\ この確率を1から引けばよい. \\ まず,\ \bm{2種類の手をグー,\ チョキ,\ パーの3種類から選ぶ}ときの方法が\,\kumiawase32\,通り. \\ さらに,\ 4人が2種類の手を出すときの場合の数を考える. \\ \bm{1人につき2通りの手の出し方があるから,\ 2^4\,通り}である. \\ ただし,\ 2^n\,通りには\bm{全員が同じ手の場合が2通り含まれるから,\ これを引く.} n人\ (n\geqq3)\ でじゃんけんを1回行うとき,\ 次の問いに答えよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ kを\,1\leqq k\leqq n\,である整数とするとき,\ k\kumiawase nk=n\kumiawase{n-1}{k-1}\ を示せ.$ \\[.4zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ k人\ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)\ が勝つ確率を求めよ.$ \\[.4zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ あいこになる確率を求めよ.$ \\[.4zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 勝つ人数の期待値を求めよ.全事象が3^n\,通り,\ 誰が勝つかが\kumiawase nk\,通り,\ 手の出し方が3通りある. $あいこになる確率は,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1人勝つ確率の余事象である.n人が2種類の手を出す}確率は  あいこになる確率は  (1)\ 有名な二項係数の等式であり,\ (4)の誘導となっている. \\ 両辺の二項係数を階乗の形\ で表す}と容易に示される. \\ \phantom{(1)}\ なお,\ 誘導がない場合もありえるので,\ この等式は\bm{暗記}しておくべきである. \\[1zh] (3)\ (2)より,\ 1人,\ 2人,\ \cdots,\ n-1人勝つ確率は  これを全て足して1から引く.\ このとき,\ \bm{二項係数の和}を求める必要が生じる. \\ \phantom{(1)}\ 二項係数の和を見かけたら,\ 次の二項展開式を思い浮かべるのが基本である. これと求める二項係数の和の式を見比べると,\ \bm{x=1}とすればよいとわかる. として,\ 二項係数の和が求まる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ 別解の方法ならば,\ 前問の別解の4人をn人にするだけで直ちに一般化される. \\[1zh] (4)\ 期待値は,\ \bm{分子の二項係数の和}を求めることに帰着する. \\ \phantom{(1)}\ ここで,\ (1)の等式\ が役立つは,\ 等式の左辺であり,\ これに等式を適用する. \\ \phantom{(1)}\ すると,\ 定数nがくくり出せ,\ 普通の二項係数の和に帰着する. \\ \phantom{(1)}\ (1)は,\ \bm{2ヶ所の変数kを1ヶ所に集める}という意義のある等式なのである. と書くとわかりやすい. \\ \phantom{(1)}\ 分子括弧内は,\ \bm{(1+x)^{n-1}\ の二項展開式にx=1を代入したもの}と考える. \\ \phantom{(1)}\ \kumiawase{n-1}{n-1}=1\ とすると,\ 目的の二項係数の和が求まる. \\[1zh] (1)の誘導がない場合,\ 実は次の方法が楽である(微分の知識が必要). \\