検索用コード
サイコロを1回振る.\ 事象Aと事象Bが互いに独立か従属かを調べよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A:「2の倍数が出る」, B:「3以上の目が出る」$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $A:「3の倍数が出る」, B:「3以上の目が出る」$ \\ P(A\cap B)=P(A)P(B)\ が成り立つ.}}$ \\[.2zh]  このとき,\ $事象Aと事象Bは\bm{\textcolor{blue}{独立}}であるという.$ \\[1zh]  $\bm{\textcolor{red}{P(A\cap B)=P(A)P(B)\ が成り立たない.}}$ \\[.2zh]  このとき,\ $事象Aと事象Bは\bm{\textcolor{blue}{従属}}であるという.$事象Aと事象Bは独立である.}$}事象Aと事象Bは従属である.}$} 独立には,\ \bm{「試行の独立」と「事象の独立」}がある. \\[1zh] 「試行の独立」は,\ 常識的感覚で容易に判断できる. \\ 例えば,\ サイコロを2回振るとき,\ 1回目と2回目の試行は明らかに独立である. \\ 1回目に1が出たからといって,\ 2回目に1が出にくくなるということはない. \\ A:「1回目に1が出る」,\ B:「2回目に1が出る」とする. \\ と求めることが許される. \\ 独立でない場合,\ を計算するのであった. \\[1zh] 一方,\ \bm{「事象の独立」が容易に判断できない}ことは本問からもわかる. \\ その判断方法は,\ \bm{「P(A\cap B)=P(A)P(B)\ を示す」}ことである. \\ これが示されて初めて,\ 事象Aと事象Bが独立であるといえる. \\ すなわち,\ \bm{P(A\cap B)とP(A)P(B)を別々に求めて,\ 一致していることを示す.} \\ 確率を計算してみて初めて,\ 独立か従属かがようやくわかるのである. \\ よって,\ \bm{独立を示す前に\ P(A\cap B)=P(A)P(B)\ を適用してはいけない.} \\[1zh] 一例を示す.\ (1)の事象Aと事象Bに対して,\ P(A\cap B)を求めるとする. \\ このとき,\ と解答するのは\bm{誤り}である. \\ 結果はたまたま一致するが,\ 解答として認められない. \\ P(A\cap B)は,\ P(A)P(B)を使わずに求めなければならない. \\ 結果から独立がわかるのであり,\ それまでは独立が自明ではないからである. \\ 仮に(2)で同じことをやると,\ もはや結果も一致しない. \\[1zh] (1)が独立で(2)が従属であると判明したが,\ 直感的に納得できるだろうか. \\ サイコロを1回投げて2の倍数が出る確率は当然\ \bunsuu12\ である. \\ 「3以上の目が出る」という条件付きで2の倍数が出る確率を考える. \\ 3以上の目は4通り,\ その中で2の倍数は2通りあるから,\ \bunsuu24=\bunsuu12\ である. \\ 2の倍数が出る確率は,\ 条件「3以上の目が出る」のあるなしによらず等しくなる. \\ これは,\ 「2の倍数が出る」と「3以上の目が出る」が独立であることを意味する. \\ 一方,\ 「3以上の目が出る」という条件付きで3の倍数が出る確率は\ \bunsuu12\ である. \\ これは,\ 3の倍数が出る確率\ \bunsuu13\ と一致しない. \\ 「3以上の目が出る」という条件次第で確率が変わるから,\ 従属関係といえる.