検索用コード
A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3勝したほうを優勝とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}1回の試合でAが勝つ確率が\ $\bunsuu13$\ であるとき,\ 次の確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 3回の試合で優勝が決まる確率. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ Aが優勝する確率. \\ Aが3連勝で優勝}する確率は Bが3連勝で優勝}する確率はAが3連勝で優勝}する確率は Aが3勝1敗で優勝}する確率はAが3勝2敗で優勝}する確率は (1)\ 3回の試合で優勝が決まるには,\ どちらかが3連勝するしかない. \\ \phantom{(1)}\ \text{「Aが優勝する」と「Bが優勝する」}は\bm{排反}でなので,\ 別々に求めて足す. \\[1zh] (2)\ 通常の反復試行と異なるのは,\ \bm{試行の総回数が決まっていない}ことである. \\ \phantom{(1)}\ 本問の場合,\ 最低3回,\ 最大5回の試行を行うことになる. \\ \phantom{(1)}\ 総回数が異なるものは\bm{排反}なので,\ 3回,\ 4回,\ 5回の場合を別々に求めて足す. \\[1zh] \phantom{(1)}\ 4回で決まるのは,\ 3勝1敗となる場合である. \\ \phantom{(1)}\ ここで,\ 単純に\ とするのは\bm{よくある誤り}である. \\ \phantom{(1)}\ なぜなら,\ \kumiawase43\,には\ \text{AAAB}\ (3回で終了)\ も含まれてしまうからである. \\ \phantom{(1)}\ ちょうど4回で決まるには,\ 最後の1回(4回目)が必ず\text{A}でなければならない. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ \bm{最後の1回(4回目)を分けて考える}必要がある. \\ \phantom{(1)}\ つまり,\ \bm{最初の3回が2勝1敗で,\ 4回目に勝つ確率を求める}のである. \\ \phantom{(1)}\ 具体的には,\ \text{(AAB)A,\ (ABA)A,\ (BAA)A}\ である. \\ \phantom{(1)}\ 最初の3回が2勝1敗となる確率は,\ 普通の反復試行これに4回目に勝利する確率\,\bunsuu13\,を掛ければよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ ちょうど5回で決まる場合も同様に考える. \rei\ \text{(ABBA)A,\ (BABA)A} \\ \phantom{(1)}\ つまり,\ \bm{最初の4回が2勝2敗で,\ 5回目に勝つ確率を求める.} \\