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素因数分解されるとする. \\[1zh]  $[1]$ $\bm{\textcolor{blue}{Nの正の約数の個数}}   $[2]$ $\bm{\textcolor{blue}{Nの正の約数の総和}} 素因数が3種類の場合の例だが,\ 何種類でも同様の規則で求められる. \\ 一旦具体例を考えてから,\ 一般的な法則を導こう. \\[1zh] 例として,\ 12=2^2\cdot3\ の約数の個数と総和を求めるとする. \\ 12の約数は,\ 2が2個,\ 3が1個ある中から素因数を取り出して作られる. \\ \bm{2の取り出し方は0個,\ 1個,\ 2個の3通り}がある. \\ \bm{3の取り出し方は0個,\ 1個の2通り}がある. \\[-1.5zh] よって,\ 約数の個数は\ \bm{3\cdot2=6\ 通り}である.  具体的に書き出すと,\ 右表のようになる. \\[1zh] これを一般化すると,\ p^kq^lr^mの約数の個数もわかる. \\ 素因数pの取り出し方は,\ 0個,\ 1個,\ \cdots,\ k個のk+1通りある. \\ 同様に,\ qの取り出し方はl+1通り,\ rの取り出し方はm+1通りある. \\ よって,\ 全部で(k+1)(l+1)(m+1)通りあり,\ それが約数の個数である. \\[1zh] 約数の総和の規則性を探るため,\ 全て\bm{素因数の形で足してみる.} \\ このように因数分解でき,\ 一般化するとp^kq^lr^mの約数の総和となる. \\ a^0=1\ も考慮すると,\ 総和は[2]のように表される. \\[1zh] 括弧内は等比数列の和なので,\ 等比数列の和の公式(数列)でまとめられる. \\ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和   $約数の個数は \textcolor{red}{(2+1)(3+1)(1+1)}=\bm{24\ (個)}$ \\[.5zh]  $約数の総和は 200以下の自然数のうち,\ 約数が10個であるものをすべて求めよ.$ \\ p,\ qを異なる素数}とすると,\ 求める数は\ \textcolor{red}{p^9}\ または\ \textcolor{red}{p^4q}\ とおける.$ \\[1zh]  このように表される数の中で,\ 200以下の自然数となるものをすべて求める. 約数の個数の公式を利用するため,\ \bm{10を積の形で表す}. \\ 10は2つの数の積として2通りに表される. \\[1zh] 素因数分解すると\ p^k\cdot q^l\ となる数の約数の個数は (k+1)(l+1)\ (個) \\ これを逆に考えると,\ 約数が10個となる数は \bm{p^9\cdot q^0,\ \ p^4\cdot q^1} \\[1zh] 後は,\ 条件を満たすものを\bm{小さい素数から順にしらみつぶし}をして探す. \\ p=2のとき,\ 2^9=512となるから,\ 200以下の自然数の中にp^9となるものはない. $自然数Nは,\ 次のように素因数分解できるとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$  N=p^k\cdot q^l\cdot r^m\ \ (p,\ q,\ r:互いに異なる素数\ ;\ k,\ l,\ m:自然数)$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$自然数Nの約数の個数が奇数個ならば,\ Nは平方数であることを示せ.$ \\  $Nの約数の個数は \textcolor{cyan}{(k+1)(l+1)(m+1)}\ (個)$ \\[.2zh]  $(k+1)(l+1)(m+1)\ が奇数のとき,\ k+1,\ l+1,\ m+1は全て奇数である.$ \\[.2zh]  $よって,\ \textcolor{red}{k,\ l,\ mは偶数}である. まず,\ 公式を用いて約数の個数を求める. \\ 積が奇数となることから,\ \bm{各因数が全て奇数}であるとわかる. \\ さらに,\ +1が奇数であることから,\ \bm{元の指数が偶数}であるとわかる. \\ 偶数であることが判明したので,\ この\bm{条件を数式に変換}する. \\ \bm{既存の文字を消去}すると,\ 2乗の形に変形でき,\ 平方数であることが示される. \\[1zh] 次の関係が一般的に成立することを知っておくとよい. \\   \bm{\begin{cases} 約数の個数が奇数個\ \Longleftrightarrow\ 平方数 \\ 約数の個数が偶数個\ \Longleftrightarrow\ 平方数でない