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自然数nに対し,\ と表す.$ \hspace{.5zw}(2)\ \ $数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}の一般項を求めよ. が3の倍数であることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ $ある自然数mを用いて, と表せること の整数部分が奇数であることを示せ.$ \\  $\bm{\textcolor{blue}{共役性} A,\ Bは自然数)}}\ と表せる.$ \\\\\\ 初項2-\ruizyoukon3,\ 公比2-\ruizyoukon3\ の等比数列}である.$ \\[1zh] 決まりきったパターンとして\bm{解法を丸ごと暗記}しよう.\ 相当な慣れを要する. \\ (2\pm\ruizyoukon3)^n\ ではなく,\ \bm{a_n\pm b_n\ruizyoukon3\ を主役にして考える.} \\[1zh] まず,\ \bm{漸化式を作成}するために,\ a_{n+1},\ b_{n+1}\ と\ a_n,\ b_n\ の関係を求める.うまく利用する. \\ a_{n+1},\ b_{n+1}\ をa_n,\ b_nで表した後,\ \bm{\ruizyoukon3\ について整理し,\ 係数を比較}すればよい. \\[1zh] 次に,\ a_{n+1}-b_{n+1}\ruizyoukon3\ を計算する. \\ \bm{a_nとb_nについて整理}し,\ うまく因数分解すると,\ 必ず\bm{a_n-b_n\ruizyoukon3\ の形が表れる.} \\ a_n-b_n\ruizyoukon3=c_n\ と考える. \\ c_{n+1}=(2-\ruizyoukon3)c_n\ であるから,\ \bm{等比数列型の漸化式}となっている. \\ 後は等比数列の一般項として求めれば,\ 共役な形になることがわかる. a_nとb_nの連立方程式とみて解くだけである.\ 共役性より,\ 思いの外素早く求まる. \\ (1)の連立漸化式をまともに解く必要はない. \\ 結果の形はかなり複雑だが,\ \bm{a_n,\ b_nの正体は自然数}であることを意識しておこう. b_nは自然数であるから,\ \bm{{a_n}^2-1\ は3の倍数}である. {a_n}^2\ を作り出すために\bm{積を考える}と,\ ここでも共役性が生きてくる. \\ ここで,\ a_nは自然数であるから,\ \textcolor{cyan}{{a_n}^2=m}\ とおける. 無理矢理な変形が必要であり,\ パターンとして暗記していなければ気付かない. (3)で導かれた等式を用いてb_nを消去し,\ {a_n}^2\,をmに置き換えればよい. \\ mを用いた表現も共役性が保たれている2a_n\ は偶数}である(2+\ruizyoukon3)^n\ の整数部分は,\ \bm{奇数である.}$} \\\\[.5zh] 今度は\bm{和を考えてみる.}\ \ (2)の\maru1+\maru2より,\ (2+\ruizyoukon3)^n\ をa_nで表せる. \\ (2+\ruizyoukon3)^n\ が,\ \bm{偶数である2a_nから1未満の正数を引いたもの}であるとわかる. \\ よって,\ 整数部分は奇数であるといえる.\ 例えば,\ 2-0.5=1.5\ である.