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除法の原理}}整数aと自然数bに対して}$ \\[.2zh] {a=qb+r \\[.2zh]   $\bm{を満たす整数q,\ rが\textcolor{red}{ただ一通り}に定まる.}$ qをaをbで割ったときの\bm{商}(\text{quotient}),\ rを\bm{余り}(\text{remainder})という. \\ 要は,\ \bm{整数の割り算について成り立つ等式}である. \\ 例えば,\ 日本語「7を2で割ると商3,\ 余り1」を数式「7=3\cdot2+1」にできる. \\ この表現ならば,\ 7\div2=3\cdots1のように,\ \cdots などと書かずに済む. \\[1zh] ここで,\ -5を2で割ったときの余りを,\ 等式を作成することで求めてみよう. \\ -5=-3\cdot2+1\ とできるから余りは1である(正解). \\ -5=-2\cdot2-1より,\ 余りは-1とする\bm{間違い}が多い. \\ \bm{条件\ 0\leqq \ があるから,\ \bm{2で割ったときの余りは0か1}である. \\ \bm{rの範囲があるからこそ,\ a=bq+r\ がただ一通りに表される}のである. 4で割ると商q,\ 余り3となる自然数mと,\ 6で割ると商q,\ 余り2とな$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$る自然数nがあるとき,\ 3m+4nを12で割ったときの余りを求めよ.$ \\ m=4q+3,\ \ n=6q+2} 除法の原理を用いる典型的な問題である. \\ m,\ nは文字であるから,\ 実際に割り算することができない. \\ この場合,\ 割り算について成り立つ等式を作ることになるのである. \\[1zh] とにかく,\ 「4で割ると商q,\ 余り3」「6で割ると商q,\ 余り2」を\bm{数式に変換}する. \\ これを3m+4nに代入して計算し,\ \bm{12をできる限りくくりだす}と余りが求まる. \\ 12でくくりだした部分は12で割り切れるからである. \\ このとき,\ 36q+17=12\cdot3q+17\ より,\ 余り17と答えるのは\bm{間違い}である. \\ 12で割った余りであるから,\ で答えなければならない. \\ よって,\ 36q+17=36q+\bm{12+5}=12(3q+1)+5\ のように変形することになる.