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最大公約数}\ :\ \textcolor{red}{共通する約数の中で,\ 最大のもの}最小公倍数}\ :\ \textcolor{red}{共通する倍数の中で,\ 最小のもの まず与えられた数を\bm{素因数分解}する. \\ 132は2を2個,\ 3を1個,\ 11を1個もつ.\ 360は2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個もつ. \\[1zh] \bm{共通する素因数をできる限り多く(全て)取り出す}ことで,\ 最大公約数が得られる. \\ 2を2個と3を1個取り出せば,\ それ以外に共通する素因数はない. \\[1zh] 最小公倍数は,\ 2^2\cdot3\cdot11の倍数かつ2^3\cdot3^2\cdot5の倍数となる条件を考える. \\ 132の倍数になるには,\ 最低でも2を2個,\ 3を1個,\ 11を1個が必要である. \\ 360の倍数になるには,\ 最低でも2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個が必要である. \\ 両方の倍数になるには,\ 最低でも2を3個,\ 3を2個,\ 5を1個,\ 11を1個が必要. \\ \bm{2数の構成に最低限必要な素因数のみを取り出す}ことで,\ 最小公倍数が得られる. \\[1zh] 3数以上の最大公約数・最小公倍数も同様にして得られる. 2整数の\bm{\textcolor{red}{最大公約数が1}}であるとき,\ 2整数は\bm{\textcolor{blue}{互いに素}}であるという.$ \\\\  $[2]$ $\bm{  日本語「\textcolor{cyan}{a,\ bの最大公約数がg}」}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $\bm{→ 数式 「\textcolor{red}{a=ga’,\ \ b=gb’\ \ (a’,\ b’は互いに素な整数)}」}$ \\\\  $[3]$ $a,\ bの最小公倍数をL,\ 最大公約数をGとする.a=a’G,\ \ b=b’G\ (a’,\ b’:互いに素な整数)\ と表せ,\ 次が成立する.$ \\[.5zh] 例えば,\ \ 3と5は互いに素だが,\ 3と6は互いに素ではない(最大公約数3). \\ \phantom{[1]}\ 互いに素は,\ 素数とは全く別の概念であることに注意する. \\ \phantom{[1]}\ 3数の場合,\ \bm{3数の最大公約数が1であれば互いに素}といえる. \\ \phantom{[1]}\ つまり,\ (4,\ 6,\ 9)は互いに素である.\ 共通約数をもつ2数があるが関係ない. \\[1zh] \text{[2]}\ 数学では,\ \bm{問題の条件をまず数式に変換してから議論する}ことが重要である. \\ \phantom{[1]}\ 最大公約数の条件が与えられた場合,\ [2]のような数式に変換できる. \\ \phantom{[1]}\ 最大公約数は,\ 共通する約数の中で最大のものであった. \\ \phantom{[1]}\ 逆に言えば,\ \bm{残りは共通する約数をもたないから互いに素}である. \\ \phantom{[1]}\ 実際,\ 2数を最大公約数で割ると,\ 必ず残りが互いに素な2数になる. \\ \phantom{[1]}\ \rei\ 132=12\cdot11,\ \ 360=12\cdot30 → 11,\ 30は互いに素 \\[1zh] \text{[3]}\ 最大公約数と最小公倍数の関係を132と360を例に考える. \\ \phantom{[1]}\ 共通する素因数の全て(\bm{最大公約数})を括弧でくくったものが次である. \\ \phantom{[1]}\ \bm{132=(2^2\cdot3)\cdot11, 360=(2^2\cdot3)\cdot30 (11,\ 30は互いに素)} \\ \phantom{[1]}\ このとき,\ \bm{最小公倍数は (2^2\cdot3)\cdot11\cdot30} \\ \phantom{[1]}\ 共通部分(最大公約数)は1回だけ掛ければよい. \\ \phantom{[1]}\ また,\ 最大公約数以外の共通しない部分は互いに素なので,\ 両方必要である. \\[1zh] \phantom{[1]}\ これを文字を用いて一般化すると,\ [3]の関係が得られる. \\ \phantom{[1]}\ \bm{a=Ga’, b=Gb’ (a’,\ b’は互いに素)} \\ \phantom{[1]}\ このとき,\ 最小公倍数\ \bm{L=Ga’b’}   また \bm{\bunsuu LG=a’b’} \\ \phantom{[1]}\ さらに  \bm{LG}=G^2a’b’=(Ga’)(Gb’)=\bm{ab} \\ \phantom{[1]}\ これらの関係は,\ 導けるようにした上で公式として暗記しておこう. \\[1zh] \phantom{[1]}\ また,\ \bm{3つ以上の整数については成り立たない}関係である. \\ \phantom{[1]}\ 実際,\ 上の(2)では\ \ (3数の積)=18\cdot60\cdot84=90720,\ \ LG=1260\cdot6=7560 $a\geqq bを満たす自然数a,\ bについて,\ a+b\ はa,\ bの最大公約数の3倍$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$に等しいとき,\ \bunsuu ab\ の値を求めよ.$ \\ 「a,\ bの最大公約数」とあるので,\ とにかくまずこの\bm{条件を数式に変換}する. \\ 次に,\ \bm{問題文中の文字を自分で設定した文字にどんどん置き換える.} \\ \bm{問題で与えられた文字を消去する方向で変形}していくのである. a’,\ b’が自然数であることから完全に特定でき,\ \bunsuu ab\,の値が求まる. 積が2700,\ 最小公倍数が180であるような2つの自然数を求めよ.$ \\  $2つの自然数をa,\ b\ 最大公約数をG,\ 最小公倍数をLとおく.$ \\[1zh]  $\textcolor{cyan}{LG=ab} より 180G=2700   よって \textcolor{cyan}{G=15}$ \\[.3zh]  $\textcolor{red}{a=Ga’=15a’,\ \ b=Gb’=15b’\ \ (a’,\ b’:互いに素な自然数)}\ とおける.$ \\[.3zh] LG=ab,\ L=Ga’b’\ のように,\ 2数と最小公倍数は,\ G,\ a’,\ b’\ を介して結びつく. \\ よって,\ \bm{自分でG,\ a’,\ b’\ を設定し,\ これも含めて考慮する}ことになる. \\ 原理の理解がなく,\ 公式の丸暗記だけで解くのは難しい. \\[1zh] 2つの自然数と最大公約数・最小公倍数を文字でおく. \\ このとき,\ として大小関係も設定しておくと後が楽である. \\[1zh] まず,\ \bm{LG=ab\ より,\ 最大公約数Gが求まる.} \\ 「a,\ bの最大公約数G」が求まったことになるので,\ これを数式に変換する. \\[1zh] 次に,\ \bm{L=Ga’b’\ より,\ a’b’\ が求まる.} \\ \bm{a’とb’が互いに素な自然数であることと\,に注意して組合せを求める.} \\ a’とb’は互いに素であるから,\ (6,\ 2)の組合せは不適である. \\ 最後,\ a=ga’=15a’,\ \ b=gb’=15b’\ を用いて2つの自然数を求める.