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3の倍数}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{各位の和が3の倍数}} \bm{\textcolor{cyan}{9の倍数}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{各位の和が9 の倍数}}  原理を4桁の整数$abcd$\bm{「各位の和が3の倍数」が条件}である.「各位の和が9の倍数」が条件}である.$} 4桁の整数の場合を示したが,\ 何桁でも同じである. \\ まず,\ 4桁の整数abcdは,\ 数式で表現すると\ \bm{1000a+100b+10c+d}\ である. \\ 具体例を挙げると,\ \ こうして,\ \bm{1桁の自然数a,\ b,\ c,\ dを用いて4桁の自然数を表せる}のである. \\ 整数をこのような数式で表現できない人が意外に多いので,\ よく確認して欲しい. \\ なお,\ 一般化する場合,\ 文字が足りなくなるので次のように添え字で表現する. 3,\ 9の倍数条件を考えるには,\ \bm{1000=999+1}等と分解し,\ \bm{3,\ 9でくくり出す.} \\ くくり出した部分は3,\ 9の倍数であるから,\ 残りが3,\ 9の倍数であればよい. \\[1zh] 実質同じだが,\ \bm{合同式}を学習済みならば,\ 非常に簡潔に示すことができる この判定法は暗記必須である.\ \bm{原理を理解した上で暗記}しておく. \\ 整数分野はもちろん,\ 場合の数・確率分野でもよく問われる. \\ また,\ 計算力が高い人は,\ \bm{単純計算においても利用}している. \\ 例えば,\ \bunsuu{8916}{33}\ が約分できるか否かを瞬時に判断できる. \\ 分母は明らかに3の倍数であるから,\ 分子が3の倍数でないかを判定する. \\ 各位の和を計算するとき,\ 明らかに\bm{3の倍数である+9と+6は無視}できる. \\ 結局,\ 8+1=9=(3の倍数)だけで,\ 8916が3の倍数であることがわかる. \\[1zh] さらに,\ 倍数の判定は,\ より一般的に\bm{余りの判定}と考えておくと応用が利く. \\ 4桁の整数abcdを3,\ 9で割ったときの余りを求めるとする. \\ このとき,\ \bm{a+b+c+dを3,\ 9で割ったときの余りを求めればよい.} \\ \rei\ 3596を3で割った余りは,\ 5を3で割った余り2に等しい(3,\ 9,\ 6は無視). \\ 倍数条件は,\ \bm{余りを0とした特殊な場合}だったのである. 4の倍数}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{下2桁が4の倍数}} \bm{\textcolor{cyan}{8の倍数}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{下3桁が8の倍数}}  原理を5桁の整数$abcde$で示す. \centerline{$\therefore 10d+e,\ つまり\bm{「下2桁が4の倍数」が条件}である.$} \centerline{$\therefore 100c+10d+e,\ つまり\bm{「下3桁が8の倍数」が条件}である.$} であることが根幹にある. \\ つまり,\ それより上の桁は全て4,\ 8で割り切れることになる. \\ なお,\ 「下2桁が4の倍数」には\bm{00も含まれる}ことに注意して欲しい. \\ 2の倍数条件が「下1桁が2の倍数」であることも考慮すると規則性が見えてくる. \\ ちなみに,\ 16の倍数条件は「下4桁が16の倍数」である.\ \ (10000=625\times16) \\[1zh] 次のように考えるとより本質的である. \\ よって,\ 2の累乗と同様に  5の倍数条件 「下1桁が5の倍数」 \\ 25の倍数条件 「下2桁が25の倍数」 \\ 125の倍数条件 「下3桁が125の倍数」 実質同じだが,\ \bm{合同式}で表現すると簡潔である. \\ \bm{\textcolor{cyan}{6の倍数}\phantom{1}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{2の倍数\ かつ\ 3の倍数}} \\ \bm{\textcolor{cyan}{12の倍数}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{3の倍数\ かつ\ 4の倍数}} \bm{合成数の倍数条件}は,\ 基本的には\bm{「互いに素な数の倍数」}と考える. \\ 6=2\cdot3\ より,\ 「2の倍数かつ3の倍数」 \\ 12=2^2\cdot3\ より,\ 「4の倍数かつ3の倍数」 \\[1zh] 「互いに素」とは,\ \bm{1以外の公約数をもたない}ことを意味する. \\ よって,\ 12の倍数条件を「2の倍数かつ6の倍数」とするのは\bm{誤り}である. \\ 例えば,\ 6や18であっても,\ 「2の倍数かつ6の倍数」といえる. \\[1zh] では,\ 30=2\cdot3\cdot5の倍数条件はどうなるだろうか. \\ 素直に考えれば,\ 「2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数」だが,\ 次でもよい. \\ 「6の倍数かつ5の倍数」「3の倍数かつ10の倍数」「2の倍数かつ15の倍数」 \\ 状況に応じて考えやすいものを選択することになる.