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3x+7y\ (x,\ y:整数)\ がすべての整数を表せることを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $3x+7y\ (x,\ y:自然数)\ が表せない最大の整数を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $3x+7y\ (x,\ y:0以上の整数)\ が表せない最大の整数を求めよ.$ \\ \bm{3x+7y=N\ を満たす整数解の1つを実際に示せばよい.} \\ 3,\ 7は互いに素であるから,\ 整数論の基本定理より,\ 必ず整数解が存在する. \\ 3x+7y=1\ の特殊解を求め,\ 両辺をN倍すると考える. \\ 文字で一般化されているから,\ これですべての整数について示したことになる. \\ 例えば,\ 100\ を表したければ,\ (x,\ y)=(-200,\ 100)\ とすればよいことがわかる. \\ 実際,\ 3(-200)+7(100)=100\ となる. 整数kが常に存在する条件は 3x+7yが表せない最大の整数は\ 「整数を表せる」を\bm{「3x+7y=N\ の自然数解(x,\ y)が存在する」}と考える. \\ よって,\ 自然数解が存在しないようなNの値の最大値が求める整数である. \\ まず,\ このax+by=c型の不定方程式の整数解を普通に求める. \\ ここでは,\ (1)と同じ特殊解を用いて求めた. \\[1zh] 後はx,\ yが自然数になりうるNを考えればよいが,\ 流れがわかりにくい. \\ となるような整数kが存在すればよいわけである. \\[1zh] Nの場合も同様に,\ \bm{kについての範囲に変形し,\ 整数kの存在条件を考える.} \\ 整数kが必ず存在するためには,\ \bm{とりうる値の範囲の差が1より大きければよい.} \\ N\geqq22\ のとき,\ 差が1より大きくなるから,\ 必ずその間に整数kが存在する. \\ 逆に言えば,\ \bm{N\leqq21\ のとき,\ 整数kが存在するとは言い切れない.} \\ 存在しないとも言い切れないので,\ 1つずつ確認しなければならない. \\ つまり,\ N=21,\ 20,\ \cdots\ という順番で,\ kが存在するかを確認していく. \\ N=21\ とすると,\ 整数kが存在しないから,\ 自然数解x,\ yも存在しない. \\ 求めるのは自然数解が存在しない最大の数なので,\ N=21が答えとして確定する. 常に自然数3x+7yが表せない最大の整数は\ (2)を利用するのが簡潔である.\ ややこしくなるので,\ 文字を変更する. \\ (2)で,\ 「3X+7Y\ (X,\ Y:自然数)\ は22以上のすべての整数を表せる」を得た. \\ これを元に,\ 「3x+7y\ (x,\ y:0以上の整数)」が表せる整数を考えるのである. \\[1zh] X,\ Y\ (自然数)\ をx,\ y\ (0以上の整数)\ で表して代入する. \\ \phantom{\Longleftrightarrow}\ \ 「3X+7Y\ は22以上のすべての整数を表せる」 \\ \Longleftrightarrow\ 「3(x+1)+7(y+1)\ は22以上のすべての整数を表せる」 \\ \Longleftrightarrow\ 「3x+7y+10\ は22以上のすべての整数を表せる」 \\ \Longleftrightarrow\ 「3x+7y\ は12以上のすべての整数を表せる」 \\ 後は,\ 11,\ 10,\ \cdots\ という順番でkが存在するかを確認していけばよい. ax+by=Nの整数解は,\ 図形的には\bm{\textcolor{red}{直線上の格子点}}である.$ \\\\ 整数論の基本定理より,\ a,\ bが互いに素のとき,\ 必ず整数解が存在する. \\ これは,\ 直線\ ax+by=N\ が必ず格子点を通ることを意味する. \\ 傾きを考慮すると,\ この\bm{直線上の格子点は,\ (b,\ -a)ごとに等間隔に並ぶ.} \\[1zh] 特別に着目すべきなのは,\ \bm{N=ab\ のとき}である. \\ y=-\bunsuu abx+a\ より,\ \bm{ちょうど(b,\ 0),\ (0,\ a)を通る.} \\ よって,\ \bm{N=ab\ のときは自然数解が存在しない}(第1象限の格子点を通らない). \\[1zh] \bm{Nab}\ (N\geqq ab+1)のとき,\ \bm{必ず自然数解が存在する}(第1象限の格子点通過). \\ Nab\ (N\leqq ab-1)\ のとき,\ 第1象限の格子点を通る場合も通らない場合もある. \\[1zh] 以上から,\ [2]のような定理が成立することがわかる. a,\ bが互いに素}}のとき$ \\[.5zh]    \maru1\ \ $\bm{\textcolor{red}{ab+1以上の全ての自然数Nは,}}$ \\[.2zh]              $\bm{\textcolor{red}{ax+by\ (x,\ y:\underline{自然数})で表せる.}}$ \\[1zh]    \maru2\ \ $\bm{\textcolor{red}{(a-1)(b-1)以上の全ての自然数Nは,}}$ \\[.2zh]              $\bm{\textcolor{red}{ax+by\ (x,\ y:\underline{0以上の整数})で表せる. この定理は知識として持っておくとよい. \\ \maru1は,\ \bm{「ax+by\ (x,\ y:自然数)\ で表せない最大の自然数はab」}も重要である. \\[1zh] \maru2は,\ \maru1から導かれる.\ \maru1のx,\ yをX,\ Yに変えて導く. \\ 「ab+1以上の全ての自然数Nは,\ aX+bY\ (X,\ Y:自然数)で表せる」 \\ ここで,\ \maru2のx,\ y\ (0以上の整数)\ と,\ X,\ Yの関係は X=x+1,\ \ Y=y+1 \\ 「ab+1以上の自然数Nは,\ a(x+1)+b(y+1)\ (x,\ y:0以上の整数)で表せる」 \\ 「ab+1以上の自然数Nは,\ ax+by+a+b\ (x,\ y:0以上の整数)で表せる」 \\ 「ab+1-a-b以上の自然数Nは,\ ax+by\ (x,\ y:0以上の整数)で表せる」 \\ ここで,\ ab+1-a-b=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)\ より,\ \maru2となる. \\