解説の13500の素因数分解で5²となっていますが、5³の誤りですm(_ _)m
自然数の分類 {1}{素数 & 約数が2個(1と自身)である数 \\合成数 & 2個以上の素数の積で表される数
{素因数分解 自然数を素数の積で表すこと. 素因数分解の可能性と一意性（算術の基本定理）
$合成数は,\ 積の順序を無視するとただ1通りに素因数分解できる.$
算術の基本定理は自明ではなく,\ 本来は証明が必要な定理である.
証明は高校範囲ではあるが,\ いろんな意味で複雑であり,\ 大学受験では自明としてよい.
ここでも証明は割愛する.
1を素数から除外しているのは,\ 1を素数に含めると素因数分解の一意性がなくなるからである.
$13500=5^l6^m15^n\ を満たす自然数l,\ m,\ nを求めよ.
2通りに素因数分解できるとき,\ 素因数分解の一意性により指数部分を比較することができる.}
l,\ m,\ nが整数とは限らないのであれば,\ 一意性はなくなり単純な指数部分の比較ができなくなる.
例えば,\ 2^3･3^2=2^m･3^n\,に対し,\ 以下のような無数の解が存在する(数II}).
(m,\ n)=(3,\ 2),\ (3+\log_23,\ 1),\ (2,\ 2+\log_32)など. (\log_23や\log_32は無理数)
素因数分解するとき,\ 中学生のように筆算で1個ずつ割っていく高校生が少なくないが非効率である.
分離しやすいものをまとめて分離する.\ 頻出の累乗の値(3^3=27など)を暗記していると強い.
一般に,\ (ab)^n=a^nb^n,\ \ a^m･ a^n=a^{m+n}\ (a,\ b,\ m,\ n:自然数)が成り立つ.
a^n\,がaをn個掛けたものという認識があれば自明である.
が自然数になるような自然数$n$を求めよ.
根号の中身が平方数(自然数の2乗)になるような自然数nを求めればよい.}
360の素因数分解により,\ 2^2\,や3^2\,が残るようなnであればよいことがわかる.
それ以外に,\ 根号の中身が1になる場合を忘れやすい}ので注意する.
bunsuu{n^2}{250},\ \ n^3}{256},\ \ n^4}{243}\ が全て整数となるような正の整数nのうち,\ 最小のものを求めよ.$ \\
各分数の分母を素因数分解すると,\ 各分数が整数になるためにnに最低限必要な条件がわかる.}
①\ \ 250=2･5^3\,より,\ n^2\,が2を1個以上かつ5を3個以上もっていれば整数になる.
\ \ つまり,\ nは少なくとも2を1個,\ 5を2個もっていなければならない.
②\ \ 256=2^8\,より,\ n^3\,が2を8個以上もっていれば整数になる.
\ \ つまり,\ nは少なくとも2を3個もっていなければならない.
③\ \ 243=3^5\,より,\ n^4\,が3を5個以上もっていれば整数になる.
\ \ つまり,\ nは少なくとも3を2個もっていなければならない.
素因数2,\ 3,\ 5のそれぞれについて最低限必要な個数を掛けたものが最小のnである.
