記数法の変換(小数)(n進法→10進法、10進法→n進法)

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10進法で表された整数は,\ 10の累乗を位取りの基本としていた. 同様に,\ 小数以下も10の累乗を位取りの基本とすることができる. という関係が成立する(数IIで学習).と表すこともできる. つまり,\ 10進法で表された0.482は次のような意味合いをもつ. 10進法についてここまで理解できれば後は速い.\ $n$進法についても同様である. 例えば,\ 2進法で表された0.1101は次のような意味合いをもつ. このようにして,\ ${n進数→10進数$の変換ができる.\ 他の底の例も示す. では,\ ${10進数→n進数$の変換はどうすればよいだろうか. 例えば,\ $0.8125_$を2進数に変換することは,\ 次の$a₁,\ a₂,\ a₃,\ a₄$を特定することである. 以下のように,\ 繰り返し2倍することで${a₁}$から順に特定できる. 両辺を2倍すると  整数部分の比較より 両辺から1を引くと  両辺を2倍すると の部分は小数部分であり,\ 整数部分に影響しない. 2進数なので\ a₂,\ a₃,\ a₄\ は0または1であり,\ 分母の2と約分されることはないからである. また,\ 1を引いたのは小数部分のみを残してから2倍するためである. 長くなったが,\ 要は{小}{数}部分を2倍して{整}{数}部分を取り出すことを繰り返しただけである. この過程を筆算表記すると次のように簡潔になる. 繰り返しになるが,\ {小}{数}部分のみを2倍していることに注意して欲しい. 2を1回掛けたときの{整}{数}部分が$a₁$,\ 2回掛けたときの{整}{数}部分が$a₂,\ $である. よって,\ 矢印のような順で数字を並べて$0.1101_{$となるわけである. 2進数以外の$n$進数への変換も同様,\ 繰り返し$n$を掛ければよい. 小数部分が0になったところで筆算は終了({有限小数})であるが,\ 常に0になるとは限らない. この場合は{無限小数}になる.\ 有限か無限かは絶対的なものではなく,\ 底で変化するのである. 左の例では黒丸のところの小数部分が一致している. よって,\ 最初の黒丸の後は0と3を無限に繰り返し,\ 0.3103030303}\ となる. 今回は10進数→4進数で有限→無限となったが,\ 逆に無限→有限となることもありえる. 例えば,\ 13=0.333_=0.1_\ である. 10進法で汚く感じた無限小数が綺麗な有限小数になるのなら,\ n進法で扱う意義もありそうである. 右の例のように整数部分が0でない場合,\ {整数部分と小数部分を別々に変換}すればよい.
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