前項でも示したような扱い方や性質を利用して解を求める.\ \ $x$を実数とする.
{整数部分はガウス記号の外に出せる1\gauss{x^2}=xを解け.$ \\
中身がどんな式であれ,\ \gauss{ }は所詮は整数であることを強烈に意識して扱う}ことが重要である.
そのためには,\ \gauss{x^2}=m\ (m:整数)のように文字でおいて扱うとよいのであった.
このとき,\ \gauss{x^2}=xよりx=mであり,\ それゆえ\gauss{x^2}=\gauss{m^2}=m^2\,となる.
結局,\ m^2=mを満たす整数mを求めることに帰着する.
もっとも,\ 本問程度ならばわざわざ置き換えるまでもなく解答できるだろう.
整数部分は外に出すのが基本だが,\ 本問では\gauss{13x+1}=\gauss{13x}+1としても大して変わらない.
本問のように,\ ガウス記号の方程式では解が不等式になりうる}ことに注意する.
\gauss{f(x)}=g(x)\ 型}\ は,\ まずガウス記号の中身f(x)の範囲を求める}ことを考える.
f(x)の範囲が求まると整数\gauss{f(x)}の値を特定できる.}
ただし,\ f(x)の範囲によっては\gauss{f(x)}の値は1つとは限らないので注意する.
より\gauss{2x}の値が1または2であると誤解}する人が多いので注意してほしい.
ガウス記号の定義より,\ \gauss{2x}は2x以下の最大の整数}を意味する.
\gauss{2x}の値を求めることは,\ 2xがとりうる整数値を求めることではない}のである.
別解は,\ 整数部分と小数部分に分離する}ものである.
後は,\ α\,の範囲を元に整数mの値を絞り込めばよい.}
場合分けする必要が生じ,\ 面倒になる.
左辺は$x$を小数第1位で四捨五入した数}を表すから
x-\gauss xはxの小数部分を表す}のであったから,\ x=m+α\ とおいて扱うのが自然である.
このとき,\ \gauss{x}=m,\ \ x-\gauss x=α\ となる.
後は,\ 2α\,のとりうる値の範囲に注意してガウス記号をはずせばよい.
左辺の式の意味合い(前項で解説済)を知っていると瞬殺できる(別解).
\end{array\right]$
$よって,\ ①かつ②を満たすxが存在する条件は$ \
\gauss{f(x)}=\gauss{g(x)}\ 型}は,\ =(整数)}と文字でおき,\ \gauss{f(x)}=m\ かつ\ \gauss{g(x)}=m}\ \ と考える.
2つの\gauss{f(x)}=(定数)\ 型の解の共通範囲が求めるべき答えである.
しかし,\ mの値によってはそもそも共通範囲が存在しない.
よって,\ まず共通範囲が存在するような整数mの値を求める}ことになる.
結局,\を満たすようなxが存在する条件}を考えることに帰着する.
これを用いて整数mを特定した後,\ それぞれのmのときの共通範囲を求め,\ 最後にまとめて答える.
$\gauss{x^2}+\gauss{2x}+\gauss x=x+12\ を解け. [\,東京理科大\,]$
ガウス記号の数が多く,\ 不等式で範囲を絞り込むのは困難である.
左辺が整数であることに着目すると,\ 整数mの方程式に帰着}させることができる.
