素数の定義} 2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数
$[1]$\ \ 素数の定義より,\ $素数pの約数は±1と± pに限られる.$
$[2]$\ \ 偶数の素数は2のみ 逆に言えば,\ 3以上の素数は全て奇数
$[3]$\ \ $素数pは,\ 1,\ 2,\ 3,\ ･･････,\ p-1\ のすべてと互いに素であユークリッドの補題2整数m,\ nの積mnが素数pの倍数ならば,\ mまたはnがpの倍数である.$ \\が素数pの倍数ならば,\ nがpの倍数である.$ \\
素数はこれまでにも所々で登場してきていたが,\ 本項であらためてその性質をまとめておく.
問題に素数という条件があるとき,\ これらの性質の利用を試みてほしい.
「整数」自体かなり厳しい条件だが,\ その中でも「素数」は最強に厳しい条件}である.
例えば,\ 「素数pは90≦ p≦100を満たす」とわかった時点でp=97が確定する.
[1]}\ \ 素数7の約数は±1と±7のみ.
[2]}\ \ 特に複数の素数の和・差・積}があるとき,\ この性質の利用が有効であることが多い.
\ \ 例えば,\ 3つの素数p,\ q,\ rがp+q=r,\ pn-13を考慮すると,\ (n-7,\ n-13)=(-\,1,\ -\,p),\ (p,\ 1)の可能性しかない.
後は,\ 実際に全体が素数となるか(十分条件)を確認}して最終的な答えとする.
1･6=6のように,\ 一方の因数が±1だからといって全体が素数になるとは限らない.
$nを2以上の自然数とするとき,\ n^4+4は素数にならないことを示せ. [\,宮崎大\,]$ \\
{n^4+4は素数にならない.
まず,\ 因数分解により積の形}にできることに気付かなければならない.
n^4+4は複2次式}(2乗の2次式)なのでn^2=Aとしてみるも,\ A^2+4となり因数分解できない.
この場合,\ 無理矢理( )^2-( )^2\,の形を作ってみる}のであった.
因数分解できたときは,\ 各因数の範囲を考えてみる}と整数の組の候補を限定できることがある.
$n^2+2n+2>1より,\ n^4+4が素数になるとき(n^2+2n+2,\ n^2-2n+2)=(p,\ 1)となるしかない.$
しかし,\ n^2-2n+2=1からは,\ (n-1)^2=0よりn=1しか導かれない.
一方の因数が1になるとき,\ 全体が素数になる可能性がある.
言い換えると,\ どちらの因数も2以上の整数になるとき,\ 全体が素数ではなくなる(合成数になる).}
平方完成して各因数の範囲を求めてみると,\ いずれも2以上であることがわかる(別解).
$nが素数または4のとき,\ (n-1)!\ はnで割り切れないことを示せ. [\,東京工業大\,]$ \\
\,$a,\ dを正の整数とする.\ x_1=a,\ \ x_2=a+d,\ \ x_3=a+2d,\ \ x_4=a+3d$とおく.
\,$x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4\ がすべて素数であるとき,\ aは奇数であることを示せ.$
また,\ $dは偶数であることを示せ. [\,奈良女子大\,]$ \
複数の素数が絡むとき,\ 素数の和・差・積の偶奇性がポイントになる}ことが多い.
偶素数が2しかない}という素数の性質を利用できる可能性があるからである.
(偶数)±(偶数)=(偶数)
(偶数)±(奇数)=(奇数)
(奇数)±(奇数)=(偶数)
整数の和・差における偶奇性と偶素数が2しかないことから以下がいえる.
2つの素数の和・差が奇数ならば,\ 一方が2でありかつ他方は2以外の素数である}ことが確定する.
2つの素数の和・差が偶数ならば,\ 両方が奇素数(2以外の素数)である}ことが確定する.
本問では,\ x_1\,とx_3,\ x_2\,とx_4\,の偶奇がそれぞれ一致する.
偶素数は1つしかないので,\ 結局x_1,\ x_2,\ x_3,\ x_4\,はすべて奇素数}である.
m,\ nを自然数とする.\ \ m+nとmnがともに素数pの倍数であるとき,\ mとnが$
$ともにpの倍数であることを示せ.$mn$が素数$p$の倍数であるから,\ $mまたはnがpの倍数$}である. [\,ユークリッドの補題}\,]}
[1]\ \ $m$が$p$の倍数}のとき
$m=pk,\ \ m+n=pl\ (k,\ l:整数)$とおくと $n}=pl-m=pl-pk=p(l-k)}$
$l-k$は整数であるから,\ $n$も$p$の倍数}である.
[2]\ \ $n$が$p$の倍数}のとき,\ 同様にして$m$も$p$の倍数}である. mとnはともにpの倍数である.}$
倍数条件をm+n=pk,\ mn=plなどとそのまま数式に変換しても行き詰まる.
ユークリッドの補題を利用}し,\ mとnを分割して扱う}とうまく証明できる.
