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1と自分自身以外の正の約数をもたない数}}である. \\  よって,\ \textbf{\textcolor{red}{2の倍数や3の倍数を避けるように分布}}しているはずである. \\  ゆえに,\ \textbf{\textcolor{red}{剰余類で場合分けすると,\ 素数の分布の一端が垣間見える}}のである. \\  もちろん,\ 5の倍数でも7の倍数でもないが,\ 通常は3までの考慮で済む. pを3より大きい素数とする.\ pとp+2がともに素数のとき,\ p+1は$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$6の倍数となることを示せ.$ \\ pは,\ 3より大きい素数であるから,\ \textcolor{red}{奇数}である.$ \\[.2zh]  よって,\ $\textcolor{red}{pとp+2が奇数}となるから,\ \textcolor{red}{p+1は偶数}である.$ \\[.5zh]  また,\ $\textcolor{cyan}{p,\ p+1,\ p+2は,\ 連続する3整数}である.$ \\[.2zh]  よって,\ \textcolor{cyan}{少なくとも1つは3の倍数}である. \\[.2zh]  ここで,\ $p,\ p+2は3より大きい素数であるから,\ 3の倍数ではない.$ \\  ゆえに,\ $\textcolor{cyan}{p+1は3の倍数}であり,\ 偶数でもあるから,\ \bm{6の倍数である.} 素数を偶奇で考えた場合,\ \bm{偶素数は2のみ}である. \\ このことを用いると,\ 2を法とする剰余類は考えるまでもない. \\ よって,\ 素数の分布では,\ \bm{3の倍数に着目することがポイント}になることが多い. \\ \bm{奇素数を前提として,\ さらに3を法とする剰余類を考慮する}のである. \\ 本問は,\ 文字を用いて場合分けせずとも,\ 言葉で記述しておくだけで済む. 5以上の素数は,\ ある自然数nを用いて\,6n+1\,または\,6n-1\,の形で表さ$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$れることを示せ.                   \ [千葉大学]$ \\  すべての整数は,\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{6n,\ \ 6n\pm1,\ \ 6n\pm2,\ \ 6n+3}\ と表される.$ \\[.2zh]  ここで,\ $\textcolor{red}{6n,\ 6n\pm2\ は2の倍数,\ \ 6n+3\ は3の倍数}である.$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore \bm{5以上の素数は,\ 6n\pm1\ で表される.}$ 6n\pm1\ は,\ 6で割ったときの余りを表す式である. \\ \bm{6を法とする6つの剰余類}を考えると,\ 4つは2の倍数と3の倍数である. \\ 6n=2(3n),\ \ 6n\pm2=2(3n\pm1),\ \ 6n+3=3(2n+1)\ だからである. \\ 逆に言えば,\ 2の倍数でも3の倍数でもない6n\pm1しか素数になりえない. \\[1zh] 同様に,\ 4を法とすると,\ \bm{3以上の素数は4n\pm1で表される}ことなどもわかる. \\ また,\ 6n\pm1などは,\ \bm{等差数列の一般項}とみることができる. \\ これは,\ 5以上の素数が等差数列6n\pm1の中に現れることを意味している. \\ 前問は,\ 「6n\pm1\ がともに素数のとき,\ 間は6nなので6の倍数」であった. nを自然数とする.\ \ n,\ n+2,\ n+4がすべて素数であるのはn=3の$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$場合だけであることを示せ.             [早稲田大学]$ \\  $n=3\ のとき (n,\ n+2,\ n+4)=(3,\ 5,\ 7)\ より,\ すべて素数である.$ n\geqq4}\ のときを考える.$ \\[.5zh]  $\text{(\hspace{.14zw}i\hspace{.14zw})}\ \textcolor{red}{n=3k}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $\textcolor{red}{nは3の倍数}であり,\ 素数ではない.$ \\[.8zh]  $\text{(ii)}\ \textcolor{red}{n=3k+1}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n+2=(3k+1)+2=3k+3=\textcolor{red}{3}\,(k+1)$ \\[.2zh]     $よって,\ \textcolor{red}{n+2は3の倍数}であり,\ 素数ではない.$ \\[.8zh] \textcolor{red}{n=3k-1}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n+4=(3k-1)+4=3k+3=\textcolor{red}{3}\,(k+1)$ \\[.2zh]     $よって,\ \textcolor{red}{n+4は3の倍数}であり,\ 素数ではない.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{すべて素数であるのは,\ n=3\ のときだけである.}$} いきなりこの解答が書けるのは,\ あらかじめ知識を持っている人だけである. \\ 実際には,\ まず\bm{具体的に実験して法則を自分で見つける}必要がある 本問の意図は,\ n=3以外の場合に\bm{素数になりえない理由の追求}である. \\ 実験から,\ 次の2点に気づきたい. \\ nが偶数ならば,\ すべて偶数となり,\ 素数ではない. \\ nが奇数ならば,\ どれか1つが3の倍数となるから,\ すべてが素数とはいえない. \\ よって,\ nが偶数のときと奇数のときに場合を分けることが思い浮かぶ. \\ しかし,\ よく見ると,\ \bm{「すべてのnに対し,\ 少なくとも1つが3の倍数」}である. \\ ゆえに,\ 偶奇で分けずに,\ 少なくとも1つが3の倍数となることを示せばよい. \\ もちろん,\ \bm{3を法とする剰余類で場合分け}する.\ 合同式を用いると次のようになる. \\ \bm{n,\ n+2,\ n+4は1つおき(差が2)の整数}である. \\ 一般に,\ 差が2の2つの素数の組を双子素数という.  \rei\ \ (5,\ 7),\ (7,\ 11) \\ 双子素数は無限に存在すると予想されているが,\ 2014年現在証明されていない. \\ 本問は,\ 差が2の3つの整数の組は(3,\ 5,\ 7)しか存在しないことを主張している.