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10進法における桁数を考えよう. \\[1zh] 例えば,\ \textcolor{purple}{10進法で4桁となる自然数$N$}は何個あるだろうか. \\[.2zh] 10進法における4桁の\textcolor[named]{ForestGreen}{最小数は1000,\ 最大数は9999}である. \\[.2zh] よって,\ $\textcolor{magenta}{9999-1000+1=9000}$個あるとわかる. \\[.2zh] $-\,1000$とすると1000自身も除かれてしまうので$+\,1$が必要である. \\[1zh] これで求まるわけだが,\ キリが悪い9999で考えるのはいろいろとうまくない. \\[.2zh] $1000\leqq N\leqq9999$ではなく,\ $\textcolor{red}{1000\leqq N<10000}$と考えるべきである. \\[.2zh] 10進法の位取りの基本である10の累乗で表せることからみても合理的である. \\[.2zh] つまり,\ 10進法の4桁の自然数の範囲が$\textcolor{red}{10^3\leqq N<10^4}$\ と簡潔に表されるわけである. \\[.2zh] また,\ その個数が$\textcolor{magenta}{10^4-10^3=10000-1000=9000}$で求まる($+\,1$は必要なし). \\[1zh] 同様に考えると,\ 次のように一般化される.
$10^k\leqq N<10^{k+1}$ではないので注意すること.\ また,\ $N$の個数は$\textcolor{magenta}{10^k-10^{k-1}\,個}$である. \\\\
これをさらに$n$進法にまで一般化しよう.\ そのための例として2進法の場合を考える. \\[.2zh] \textcolor{purple}{2進法で4桁となる自然数$N$}は何個あるだろうか.\ 2進法では0と1の2文字しかない. \\[.2zh] よって,\ 2進法における4桁の\textcolor[named]{ForestGreen}{最小数は1000,\ 最大数は1111}である. \\[.2zh] 2進法では1111の次が10000であるから,\ $\textcolor{red}{1000_{(2)}\leqq N<10000_{(2)}}$とできる. \\[.2zh] これを10進法に変換すると,\ $\textcolor{red}{{2^3}_{(10)}\leqq N<{2^4}_{(10)}}$となる. \\[.2zh] 同様に考えると,\ 結局は次のように一般化される. 3進法で表すと5桁になる自然数$N$は何個あるか. 場合の数の考え方を利用}最高位には1,\ 2の2通り},\ \textcolor{magenta}{他の位には0,\ 1,\ 2の3通り}の入れ方がある.
本解はすでに述べたとおりである. \\[.2zh] n進数の桁数の問題ではとにかくまず不等式を作成して考えればよい. \\[1zh] この他,\ 場合の数の問題としてとらえる別解も考えられる. \\[.2zh] 5桁の自然数(10進法)を作るとき,\ ○○○○○に0\,~\,9から1つの数字を選んで入れることになる. \\[.2zh] 最高位のみ1\,~\,9の9通り,\ それ以外の位は0\,~\,9の10通りの入れ方がある. \\[.2zh] よって,\ できる5桁の自然数の総数は,\ 9\times10\times10\times10\times10=9\times10^4=90000\ 通りある. \\[.2zh] 3進法5桁の場合も同様にして求まる.\ n進法k桁に一般化すると\ \bm{(n-1)\cdot n^{k-1}\ 通り}となる. \\[.2zh] これは,\ n^k-n^{k-1}=n\cdot n^{k-1}-n^{k-1}=(n-1)\cdot n^{k-1}\ と変形したものと一致している.
2進法で7桁,\ 5進法で4桁になる自然数を10進法ですべて表せ. 4進法で10桁の自然数$N$は2進法,\ 8進法では何桁になるか.
2進法で何桁になるかは,\ \bm{2^○\leqq N<2^□\ の○と□を特定する}ことに等しい. \\[.2zh] 4=2^2\ であることを利用すると,\ 累乗の計算をせずとも桁数が求められる. \\[.2zh] 一般に\ (a^m)^n=a^{mn}\ であることに注意すると,\ 4^9=(2^2)^9=2^{18},\ 4^{10}=(2^2)^{10}=2^{20}\ である. \\[.2zh] 2^{18}\leqq N<2^{19}\ ならば19桁,\ 2^{19}\leqq N<2^{20}\ ならば20桁である.\ 18桁にはならないので注意. \\[1zh] 8進法で何桁になるかは,\ \bm{8^○\leqq N<8^□\ の○と□を特定する}ことに等しい. \\[.2zh] 4から8にするのは難しいので,\ 8=2^3\ であることを利用して\ 2^{18}\leqq N<2^{20}\ から8にする. \\[.2zh] 2^{18}\ は単純に\ (2^3)^6\ とできる.\ 2^{20}\ は2^3\ を6個までまとめられるが,\ 2^2\ が余る. \\[.2zh] これは明らかに2^3\,を7個まとめた\ (2^3)^7=2^{21}\ よりは小さい. \\[.2zh] よって,\ (2^3)^6\leqq N<(2^3)^7,\ つまり\ 8^6\leqq N<8^7\ とできる.