n進法の順序(n種類の数字で表された自然数列)

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3種類の数字0,\ 1,\ 2を用いて表される自然数を5桁まで小さい順に並べる.  1,\ \ 2,\ \ 10,\ \ 11,\ \ 12,\ \ 20,\ \ 21,\ \ 22,\ \ 100,\ \ 101,\ \ 102,\ \ 110,\ \ 111,\ \ $・・・・・・$  (1)\ \ 210番目の数は何か.  (2)\ \ 2012は何番目の数か.  (3)\ \ 自然数は全部で何個並ぶか. n}$進法の順序}   (3)\ \ $○○○○○$の○にそれぞれ0,\ 1,\ 2の3通りの数字を入れる}ときの場合の数に等しい. \\ 3種類の数字で桁を増やしながら順序を作る}というのは3進法の考え方そのものである. よって,\ 本問は3進法で考えるのが合理的である. n個の数字で表される自然数列を考える場合はn進法が有効}というわけである. 実際には,\ 並んでいる自然数を3進数とみなして10進数に変換してみる.} 10進数に変換すると1から順に並んでいるから,\ 「最初から何番目か」がわかる.} (1)\ \ 例えば,\ 5番目の数は\ 5_{(10)}=12_{(3)}\ より\ 12である. \ \ つまり,\ 「最初から○番目の数」を求めたければ,\ ○を3進数に変換}すればよい. (2)\ \ 例えば,\ 20は\ 20_{(3)}=6_{(10)}\ より最初から6番目の数である. \ \ つまり,\ 「\,□は最初から何番目か」を求めたければ,\ □を10進数に変換}すればよい. (3)\ \ 整数というより場合の数の問題である.\ 単純には,\ 桁数ごとに個数を求めることが思い浮かぶ. \ \ 例えば,\ 2桁の自然数○○の個数を求めるとする. \ \ 左の○は1,\ 2の2通り,\ 右の○は0,\ 1,\ 2の3通りがあるから,\ 全部で2・3=6個ある. \ \ 実は,\ 本問には対称性を利用したスマートな解法}がある(場合の数分野で学習). \ \ 1を00001,\ 12を00012のようにみなすのである. \ \ こうすると,\ 1から22222までのすべての自然数が対等な5個の数字の並び}となる. \ \ 重複順列}の扱いとなり,\ 1桁から5桁までのすべての自然数の個数をまとめて求められる.
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高校数学A 整数
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