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次のように,\ 3種類の数0,\ 1,\ 2を用いて表される自然数を小さい順に並べる. 210番目の数は何か. \\[.8zh] \ 2012は何番目の数か. \\
\bm{3種類の数字で桁を増やしながら順序を作る}というのは3進法の考え方そのものである. \\[.2zh] よって,\ 本問は3進法で考えるのが合理的である. \\[.2zh] 実際には,\ \bm{問題の自然数を3進数とみなして10進数に変換してみる.} \\[.5zh] 1_{(3)}=1_{(10)},\ \ 2_{(3)}=2_{(10)},\ \ 10_{(3)}=3_{(10)},\ \ 11_{(3)}=4_{(10)},\ \ 12_{(3)}=5_{(10)},\ \ 20_{(3)}=6_{(10)},\ \ \cdots\cdots \\[.8zh] \bm{10進数に変換後の数は1から順に並んでいるから,\ 「何番目か」と一致する}ことがわかる. \\[1zh] (1)\ \ 例えば,\ 5番目の数は\ 5_{(10)}=12_{(3)}\ より\ 12である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{「○番目の数」を求めたければ,\ ○を3進数に変換}すればよい. \\[1zh] (2)\ \ 例えば,\ 20は\ 20_{(3)}=6_{(10)}\ より6番目の数である. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{「□は何番目か」を求めたければ,\ □を10進数に変換}すればよい. \\[1zh] 以上のように,\ \bm{n個の数字で表される自然数列を考える場合はn進法が有効}である.