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10進法で表された整数は,\ 10の累乗を位取りの基本としていた. \\[.2zh] 同様に,\ \textbf{\textcolor{red}{小数以下も10の累乗を位取りの基本とすることができる.}} という関係が成立する(数I\hspace{-.1em}Iで学習).と表すこともできる. \\[.2zh] つまり,\ 10進法で表された0.482は次のような意味合いをもつ. \\[.5zh] 10進法についてここまで理解できれば後は速い.\ $n$進法についても同様である. \\[1zh] 例えば,\ 2進法で表された0.1101は次のような意味合いをもつ. \\[.5zh] このようにして,\ $\bm{\textcolor{blue}{n進数\,→\,10進数}}$の変換ができる.\ 他の底の例も示す.
では,\ $\bm{\textcolor{blue}{10進数\,→\,n進数}}$の変換はどうすればよいだろうか. \\[.5zh] 例えば,\ $0.8125_{(10)}$を2進数に変換することは,\ 次の$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$を特定することである.
以下のように,\ \textbf{\textcolor{magenta}{繰り返し2倍することで$\bm{a_1}$から順に特定できる.}} \\[1zh] 両辺を2倍すると 
整数部分の比較より
両辺から1を引くと 
両辺を2倍すると の部分は小数部分であり,\ 整数部分に影響しない. \\[.8zh] 2進数なので\ a_2,\ a_3,\ a_4\ は0または1であり,\ 分母の2と約分されることはないからである. \\[.2zh] また,\ 1を引いたのは小数部分のみを残してから2倍するためである.
長くなったが,\ 要は\textbf{\textcolor{magenta}{\.{小}\.{数}部分を2倍して\.{整}\.{数}部分を取り出すことを繰り返した}}だけである. \\[.2zh] この過程を筆算表記すると次のように簡潔になる. \\[.2zh] 繰り返しになるが,\ \textbf{\textcolor{magenta}{\.{小}\.{数}部分のみを2倍}}していることに注意して欲しい. \\
2を1回掛けたときの\.{整}\.{数}部分が$a_1$,\ 2回掛けたときの\.{整}\.{数}部分が$a_2,\ \cdots\cdots$である. \\[.2zh] よって,\ 矢印のような順で数字を並べて$\textcolor{red}{0.1101_{(2)}}$となるわけである. \\\\
2進数以外の$n$進数への変換も同様,\ 繰り返し$n$を掛ければよい.
小数部分が0になったところで筆算は終了(\bm{有限小数})であるが,\ 常に0になるとは限らない. \\[.2zh] この場合は\bm{無限小数}になる.\ 有限か無限かは絶対的なものではなく,\ 底で変化するのである. \\[.2zh] 左の例では黒丸のところの小数部分が一致している. \\[.2zh] よって,\ 最初の黒丸の後は0と3を無限に繰り返し,\ 0.31\underline{03030303}\cdots\cdots\ となる. \\[1zh] 今回は10進数\,→\,4進数で有限\,→\,無限となったが,\ 逆に無限\,→\,有限となることもありえる. \\[.2zh] 例えば,\ \bunsuu13=0.333\cdots_{(10)}=0.1_{(3)}\ である. \\[.6zh] 10進法で汚く感じた無限小数が綺麗な有限小数になるのなら,\ n進法で扱う意義もありそうである. \\[1zh] 右の例のように整数部分が0でない場合,\ \bm{整数部分と小数部分を別々に変換}すればよい.