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10!に含まれる素因数2の個数を求めよ.$ \\ 素因数を縦に並べて,\ 横に数える}}のがポイントである.$ \\[1zh] 2^3の倍数の個数}$) \\ 10程度なら全て書き出すことも可能だが,\ それでは応用が利かない. \\ \bm{一般的に通用する考え方}で求める. \\[1zh] 10\,\kaizyou\ の中に,\ 素因数2はどのような規則で表れるだろうか. \\ \bm{自然数を横に並べた表を作り,\ その下に素因数2の個数を●で縦に並べて書く.} \\ 2は●1個,\ 4は2^2より2を2個もつから●を縦に2個書くといった具合である. \\[1zh] \bm{横に見て数えると,\ 個数を計算で求めることができる.} \\ 第1段目の●は,\ \bm{2の倍数の個数に等しい}から,\ 10\div2=5個. \\ 第2段目の●は,\ \bm{2^2=4の倍数の個数に等しい}から,\ 10\div4=2.5より,\ 2個. \\ 第3段目の●は,\ \bm{2^3=8の倍数の個数に等しい}から,\ 10\div8=1.25\ より,\ 1個. \\ 2^4=16の時点で10を超えるから,\ これ以降を考慮する必要はない. \\[1zh] 次のように問われた場合も,\ 全く同じ問題であることに気付いて欲しい. \\ 「2^n\,が10\,\kaizyou\ を割り切るときのnの最大値を求めよ」「10\,\kaizyou\ は2で何回割れるか」 末尾に連続して並ぶ0の個数を求めよ.$ \\ n\kaizyou の末尾に0が何個連続して並ぶか}」}$ \\[.2zh]  $→ \bm{「n\kaizyou に10が何個含まれるか」}$ \\[.2zh]  $→ \bm{「\textcolor{red}{n\kaizyou に5が何個含まれるか}」}$ (2は5より多い) \centerline{{\normalsize $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} \bm{末尾の0の個数は,\ 含まれる10の個数に等しい.} \\ 例えば,\ 5000は末尾に0が3個並ぶが,\ これは10が3個含まれることを意味する. \\ さらに,\ 10=2\cdot5より,\ 5が1個と2が1個で10が1個分に相当する. \\ ここで,\ \bm{素因数2の個数は,\ 明らかに素因数5の個数より多い.} \\ よって,\ \bm{素因数5の個数を求めることに帰着}するのである. \\ ここまで言い換えると,\ 先の問題と実質同じになる. \\[1zh] 表を頭の中でイメージしながら求める. \\ 5の倍数の個数,\ 5^2\,の倍数の個数,\ 5^3\,の倍数の個数を求めて足せばよい. \\ 5^4=625\ の個数は0個であるから,\ これ以上考慮する必要はない.  階乗の素因数の個数をガウス記号を用いて一般化してみよう. 1からnまでの中にあるpの倍数の個数}}は ガウス記号\gauss xは,\ \bm{xを超えない最大の整数}を表す. \\ \rei\ \gauss 2=2,\ \ \gauss{1.8}=1,\ \ \gauss\pi=3 \\[1zh] ガウス記号を使うと,\ 例えば1~100の中の3の倍数の個数は\gauss{\bunsuu{100}{3}}と表される. \\ 実際,\ \gauss{\bunsuu{100}{3}}=\gauss{33.33\cdots}=33\,(個)\ である. \\ これを元に一般化したものが上の表現である. \\ この無限和のとなる部分は,\ \bunsuu{n}{p^k}より全て0である.