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剰余類で場合分け}をして全ての場合を尽くす.} \\[.5zh]    3を法とする剰余類 4を法とする剰余類  5を法とする剰余類  3を法とする剰余類  4を法とする剰余類  5を法とする剰余類 因数分解}}して,\ \textbf{\textcolor{red}{連続整数の積}}の形を探す.\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{強引に作り出す}}のも有効. \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ $\bm{「\textcolor{cyan}{n個の連続整数の積}は\textcolor{red}{n\kaizyou で割り切れる}」}ことを利用するためである.$ \text{[1]}\ 整数は無限にあるから1つずつ調べるわけにはいかない. \\ 余りに関する整数問題では,\ 整数を余りで分類して考える.} \\ \phantom{[1]}\ \bm{無限にある整数も,\ 余りで分類すると有限になる}ことを利用するのである. \\ \phantom{[1]}\ 例えば,\ すべての整数は,\ 3の余りで分類すると,\ 0,\ 1,\ 2の3つに分類される. \\ \phantom{[1]}\ 3の余りの問題ならば,\ わずか3通りの調査で,\ 全ての場合が尽くされる. \\ \phantom{[1]}\ 同じ余りになる整数の集合を\bm{剰余類}という. \\[1zh] \phantom{[1]}\ 実際には,\ 例のように\bm{整数を余りがわかる形に文字で設定}する. \\ \phantom{[1]}\ 3で割ったときの余りは,\ 普通に考えると\ n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2\ となる. \\ \phantom{[1]}\ しかし,\ \bm{\pm として対称に設定}すると計算が楽になることが多い. \\[1zh] \phantom{[1]}\ 重要なのは余りだけであることを考慮すると,\ \bm{合同式}による表現が有効である. \\ \phantom{[1]}\ 合同式を用いると,\ 単なる数値代入問題と化す. \\[1zh] \text{[2]}\ \bm{二項係数を利用した証明}が非常に簡潔である.\ 先に具体例を示す. \\ \phantom{[1]}\ \kumiawase73は7個から3個取り出すときの組合せの数であるから整数である. の右辺は,\ 5~7の連続3整数の積を3\kaizyou\ で割った式である. \\ \phantom{[1]}\ 左辺\kumiawase73は整数なので,\ 右辺も整数でなければならない. \\ \phantom{[1]}\ よって,\ 5~7の連続3整数の積は3\kaizyou で割り切れる.\ これを一般化すればよいleft(=\bunsuu{連続n整数の積}{n\kaizyou}\right) \\ \phantom{[1]}\ 左辺は,\ m個からn個を取り出す場合の組合せの数であるから整数である. \\ \phantom{[1]}\ \therefore\ \ 連続n整数の積\ m(m-1)(m-2)\cdots\{m-(n-1)\}\ は,\ n\kaizyou で割り切れる. \\[1zh] \phantom{[1]}\ 直感的には次のように理解できる. \\ \phantom{[1]}\ 整数には,\ 周期2で2の倍数,\ 周期3で3の倍数が現れる. \\ \phantom{[1]}\ よって,\ 連続3整数には2と3の倍数が少なくとも1つずつ含まれる. \\ \phantom{[1]}\ ゆえに,\ 連続3整数の積は2の倍数かつ3の倍数であり,\ 3\kaizyou=6で割り切れる. 連続2整数の積}であるから,\ \textcolor{cyan}{2の倍数}である.$ \\[1zh] 2の倍数の証明までは同じ.\ 3の倍数の証明を合同式で記述する}強引に連続3整数の積を作る\maru1}]   $\textcolor{cyan}{n(n-1)(n-2),\ \ (n-1)n(n+1)\ は連続3整数の積}なので,\ 6の倍数.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore 2n^3-3n^2+n\ は,\ \bm{6の倍数である.}$} \\\\  \betu\ \ [\textcolor{blue}{強引に連続3整数の積を作る\maru2}] \\[.5zh]   $\textcolor{cyan}{n(n-1)(n-2)\ は連続3整数の積}であるから,\ \textcolor{cyan}{6の倍数}である.$ \\[.2zh]   $\textcolor{cyan}{n(n-1)\ は連続2整数の積}であるから\textcolor{cyan}{2の倍数}である.$ \\[.2zh]   $よって,\ \textcolor{magenta}{3n(n-1)\ は6の倍数}となる 2n^3-3n^2+nは,\ \bm{6の倍数である.} \text{[1]}も[2]も使えるものはすべて使って示す. \\ 6の倍数証明だが,\ 6の剰余類はn=6k,\ 6k\pm1,\ 6k\pm2,\ 6k+3の6つもある. \\ 6通り調べてもよいが大変だし,\ 応用も利かない.\ まず,\ 容易に\bm{因数分解}できる. \\ すると,\ 連続2整数n-1,\ nの積が見つかるから,\ 後は3の倍数の証明で済む. \\ n=3k,\ 3k\pm1\ の3通りに場合分けし,\ それぞれが3を因数にもつことを示す. \\[1zh] \bm{合同式}を用いた別解は,\ 本解と実質同じだが,\ 記述が簡潔である. \\[1zh] \bm{連続整数の積の性質}を最大限利用する別解を3つ示した.\ 簡潔だが慣れを要する. \\ n(n-1)という連続2整数の積がすでにある. \\ \bm{2n-1から無理矢理n-2やn+1を作って連続3整数の積にする}のである. nが整数のとき,\ n^5-nが30の倍数であることを示せ.$ \\ (n-1)n(n+1)は連続3整数の積}なので\textcolor{cyan}{6の倍数}である.$ \\[1zh]  $\text{(\hspace{.14zw}i\hspace{.14zw})}\ \textcolor{red}{n=5k}\ (k:整数)のとき,\ 明らかに5の倍数である.$ \\[.8zh]  $\text{(ii)}\ \textcolor{red}{n=5k+1}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n-1=(5k+1)-1=\textcolor{red}{5}k\ より,\ 5の倍数である.$ \\[.8zh]  $\text{(\scalebox{.75}[1]{iii})}\ \textcolor{red}{n=5k-1}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n+1=(5k-1)+1=\textcolor{red}{5}k\ より,\ 5の倍数である.$ \\[.8zh]  $\text{(\scalebox{.8}[1]{iv})}\ \textcolor{red}{n=5k+2}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n^2+1=(5k+2)^2+1=\textcolor{red}{5}(5k^2+4k+1)\ より,\ 5の倍数である.$ \\[.8zh]  $\text{(\scalebox{1}[1]{v})}\ \textcolor{red}{n=5k-2}\ (k:整数)のとき$ \\[.2zh]     $n^2+1=(5k-2)^2+1=\textcolor{red}{5}(5k^2-4k+1)\ より,\ 5の倍数である.$ \\[1zh] \centerline{$\therefore n^5-n\ は,\ \bm{30の倍数である.}$} \\\\\\  \betu\ \ [\textcolor{blue}{6の倍数の証明までは同じ.\ 5の倍数の証明を合同式で記述する強引に連続5整数の積を作る}]   $\textcolor{cyan}{連続5整数の積\ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\ は,\ \textcolor{cyan}{5\kaizyou=120の倍数}.$ \\[.2zh]   $\textcolor{cyan}{連続3整数の積\ (n-1)n(n+1)\ は6の倍数}なので,\ 第2項は30の倍数n^5-n\ は,\ \bm{30の倍数である.}$ 因数分解すると連続3整数の積が見つかる. \\ よって,\ 後は5の倍数であることを示せばよい. \\ 簡単のため,\ 5の倍数になる因数だけを取り出して記述した. \\ 能力が高い人は,\ 次のようにさらに簡潔な記述も可能である. \\  n=5k\pm1\ のとき n\mp1=(5k\pm1)\mp1=5k \\  n=5k\pm2\ のとき n^2+1=(5k\pm2)^2+1=5(5k^2\pm4k+1) \\[1zh] 合同式を使えば非常に簡潔に済む.\ \bm{展開前の式\ n^5-n\ に代入する}だけでよい. \\ 連続5整数の積にする別解は参考までに. \\[1zh] 本問は,\ フェルマーの小定理「n^p-nはpの倍数\ (p:素数)」の特殊な場合である. \\ また,\ 30の倍数であるということは10の倍数でもある. \\ 10で割ったときの余りは一の位の数と一致する. \\ よって,\ すべての整数は,\ \bm{5乗すると元の数と一の位が同じになる.}