(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)の証明(2変数、3変数、4変数)

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3種の平均の間に常に成立する大小関係が次である.  つまり,\ 常に\ ${(相加平均)(相乗平均)(調和平均)$\ が成り立つ. 調和平均は,\ {逆数の相加平均\ { 1a+1b}{2}\ の逆数}である. 特に重要なのは\ (相加平均)(相乗平均)\ であり,\ 応用問題の中でも頻出する. 実際には,a+b2{ab}\ として使うことが多い. また,\ (相加平均)(相乗平均)\ は,\ 前提条件を\ a0,\ b0\ と考えておくとよい. 両辺は正であるから,\ 2乗して証明すればよい. 最初に分母をはらっておくとわずかに楽である. 次のように2乗せずに直接示すこともできる. 両辺の逆数をとる}と   $等号は,\ 1a=1b\ のとき,\ つまり\ {a=b\ のとき}に成立する.$ (相加平均)(相乗平均)\ を適用し,\ 逆数をとる.} 不等式は,\ {逆数をとると不等号が逆になる}ことに注意する. あるいは,\ の両辺に\ を掛けてもよい. 右辺は分母分子をabで割ると  重要なのは,\ {実質\ (相加平均)(相乗平均)\ の形を変えたにすぎない}ことである. よって,\ (相乗平均)(調和平均)\ の知識は必須というわけではない.  $3種の平均の関係は,\ {3変数の場合にも成立する.$ {置換して有名な3次の因数分解公式に帰着させる}のがポイントである. 因数分解後,\ 各因数がまたは0であることを示せばよい. \ すでに取り上げたように,\ {対称性を生かした平方完成}をすると簡潔に済む. 等号成立は,\ {A-B=0\ かつ\ B-C=0\ かつ\ C-A=0\ のとき}である. つまり,\ A=B=C\ であり,\ a=b=c\ である. \ 2変数の場合と同様,\ 1a+1b+1c\ に証明済みの相加相乗平均を適用する. 等号成立は,\ 1a=1b=1c\ のときである. 4変数の\ (相加平均)(相乗平均)\ も成立し,\ 証明も応用上重要である.$  $さらに,\ {4変数の場合を経由して3変数の場合を証明する方法も重要である.$  等号成立 a=b=c=d)}$}両辺を4乗}すると$ 4変数の場合は,\ {2変数の相加相乗を2回適用}して求められる. まず,\ 適用しやすいように\ 12\ をくくりだし,\ 2つに分割する. \ 計3つの相加相乗を適用したので,\ その全ての等号が同時に成立する必要がある. {4変数目のdを3変数の式の左辺に置換する}と,\ 3変数の場合を示すことができる. \ この後,\ 次のように変形していけば,\ 3変数の場合が示される. {両辺を4乗\ →\ 両辺を\ {a+b+c}{3}\ で割る\ →\ 両辺を3乗根} 等号成立は,\ a=b=c={a+b+c}{3}\ のときである. 以上の4変数と3変数の場合と同様の発想で,\ n変数の場合が証明できる(高難度).

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