(2乗平均)≧(相加平均)≧(相乗平均)≧(調和平均)の証明

スポンサーリンク
一般に,\ $\bm{\textcolor{blue}{(2乗平均)\geqq(相加平均)\geqq(相乗平均)\geqq(調和平均)}}$\ が成り立つ 「2乗平均」は,\ 正確には「2乗平均平方根」である. \\[1zh] 調和平均は,\ \bm{逆数の相加平均\ \bunsuu{\bunsuu 1a+\bunsuu1b}{2}\ をさらに逆数にしたもの}である. (2乗平均)\geqq(相加平均)}} 両辺が正なので,\ \bm{2乗の差を計算}すればよい. \\[.2zh] 以下を利用することになるので,\ 前提条件A>0,\ B>0を確認した上で2乗をはずす. \\[.2zh]  \bm{A>0,\ B>0\ のとき A\geqq B\ \Longleftrightarrow\ A^2\geqq B^2} \\[1zh] a-b=0,\ つまり\bm{a=bのとき等号が成立する.} a+b\geqq2\ruizyoukon{ab}\ を示すのがよい.\ 両辺を2乗せずとも,\ そのまま差を計算するだけで証明できる. \\[.2zh] \ruizyoukon a-\ruizyoukon b=0,\ つまり\bm{a=bのとき等号が成立する.} 両辺の逆数をとる}と \bm{\bunsuu1a+\bunsuu1b\ に\ (相加平均)\geqq(相乗平均)\ を適用し,\ 逆数をとる}という上手い証明方法がある. \\[.8zh] \bm{逆数をとるとき,\ 不等号の向きが逆になる}ことに注意する. \\[.2zh] \bunsuu1a=\bunsuu1b,\ つまり\bm{a=bのとき等号が成立する.} \\[.8zh] 結局は(相加平均)\geqq(相乗平均)なので,\ 以下のようにも証明できるが本質的に同じである.  3文字の場合も$\bm{\textcolor{blue}{(2乗平均)\geqq(相加平均)\geqq(相乗平均)\geqq(調和平均)}}$\ が成り立つ. \\\\ {(2乗平均)\geqq(相加平均)}}$\, \bm{両辺を2乗し,\ 分母をはらった\ 3(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^2\ を証明する}のが簡潔である. \\[.2zh] 別項でも複数回扱った有名不等式であり,\ \bm{対称性を生かして平方完成}すればよいのであった. \\[.2zh] a-b=0\ かつ\ b-c=0\ かつ\ c-a=0,\ つまり\bm{a=b=cのとき等号が成立する.} \bm{a+b+c\geqq3\ruizyoukon[3]{abc}}\ を示せばよい.\ \ruizyoukon[3]{a}\,を「3乗根a」といい,\ 3乗してaになる数を表す. \\[.2zh] \bm{\ruizyoukon[3]{a},\ \ruizyoukon[3]{b},\ \ruizyoukon[3]{c}\,を置換し,\ 有名な3次の因数分解公式を利用する}と証明できる. \\[.2zh] 明らかにA+B+C>0なので,\ 後はA^2+B^2+C^2-AB-BC-CA\geqq0\ の証明である. \\[.2zh] 本質的に3(a^2+b^2+c^2)\geqq(a+b+c)^2\,と同じ式なので,\ \bm{対称性を生かして平方完成}すればよい. \\[.2zh] P>0,\ Q\geqq0ならば,\ PQ\geqq0である. \\[.2zh] A-B=0\ かつ\ B-C=0\ かつ\ C-A=0,\ つまり\bm{a=b=cのとき等号が成立する.} 2変数の場合と同様,\ \bm{\bunsuu1a+\bunsuu1b+\bunsuu1c\ に(相加平均)\geqq(相乗平均)を適用し,\ 逆数をとる.} \\[.8zh] \bunsuu1a=\bunsuu1b=\bunsuu1c,\ つまり\bm{a=b=cのとき等号が成立する.} 4文字の(相加平均)\geqq(相乗平均)}}\ の証明を示す.$ 等号成立条件\ a=b=c=d)}$} \\\\\\  加えて,\ $\bm{\textcolor{blue}{4文字の場合を利用して3文字の場合を証明する}}方法がある.${両辺を4乗}すると$ 4文字の場合の証明は,\ \bm{2文字の相加相乗\,\bunsuu{a+b}{2}\geqq\ruizyoukon{ab}\,を3回利用}して求められる. \\[.8zh] まず,\ \bunsuu12\,をくくりだし,\ 2つの分数に分割する. \\[.2zh] \bm{2つの分数それぞれに対して相加相乗を適用し,\ さらに\,\bunsuu{\ruizyoukon{ab}+\ruizyoukon{cd}}{2}\,に対してもう一度適用する.} \\[.8zh] 普段\,\ruizyoukon[2]{a}\,を\,\ruizyoukon a\,と表している.\ よって(4乗根a)となる. \\[1zh] \bm{a=b\ かつ\ c=d\ かつ\ \ruizyoukon{ab}=\ruizyoukon{cd}\ のときに等号が成立する.} \\[.2zh] 3回分の相加相乗の等号が同時に成立する必要がある. \\[1zh] \bm{4文字目のdを3文字の場合の左辺\,\bunsuu{a+b+c}{3}\,に置き換える. \bunsuu{a+b+c}{3}\geqq\ruizyoukon[4]{abc\cdot\bunsuu{a+b+c}{3}}\,となるので,\ 後は以下のようにして3文字の場合が示される. \\[1zh] \bm{両辺を4乗\ →\ 両辺を\ \bunsuu{a+b+c}{3}\ で割る\ →\ 両辺を3乗根} \\[.8zh] a=b=c=\bunsuu{a+b+c}{3}\ のときに等号が成立する.

タイトルとURLをコピーしました