整式の関数方程式

スポンサーリンク
$f(x+1)-f(x)$が2次式であるから,\ $f(x)$は3次式}である. {両辺の係数を比較}すると f(x)についての等式からf(x)を求めることを\bm{関数方程式を解く}という. \\[.2zh] その中で最も単純なのが,\ 本問のように「整式」と限定されているタイプである. \\[.2zh] 整式の最も重要な特徴である次数を定めてしまえば,\ \bm{恒等式の未定係数決定問題}に帰着する. \\[1zh] 一般に,\ \bm{n次式f(x)\ (n\geqq1)について,\ f(x+a)-f(x+b)\ (a\neqq b)はn-1次式}となる. \\[.2zh] 例えば,\ f(x)=x^2\,のとき\,f(x+a)-f(x+b)=(x+a)^2-(x+b)^2=2(a-b)x+a^2-b^2\,となる. \\[1zh] 数値代入法による解答(本解)と係数比較法による解答(別解)を示した. \\[.2zh] 数値代入法では,\ f(0)=0で直ちにd=0がわかるので,\ 残りはa,\ b,\ cの3文字である. \\[.2zh] よって,\ xに3つの値を代入して式を3つ作成するとa,\ b,\ cを特定できる. \\[.2zh] これは必要条件にすぎないので,\ 実際に代入して十分条件でもあることを確認する. \phantom{ (1)}\ \ 両辺の係数を比較すると $a+6=0,\ \ b-a=0,\ \ a=3,\ \ b=0$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ これらをすべて満たす$a,\ b$の値は存在しないので,\ \textcolor{red}{$f(x)$は2次以上の整式}である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{forestgreen}{$f(x)$の最高次の項を$ax^n\ (a\neqq0,\ n\geqq2)$}とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 左辺と右辺の最高次の項はそれぞれ $ax^{2n}$,\ \ $ax^{n+3} $f(x)$は1次以下の整式ではない.}{$f(x)$の最高次の項を$ax^n\ (a\neqq0,\ n\geqq2)$}とする. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 左辺と右辺の最高次の項はそれぞれ $ax^{2n}$,\ \ $ax^{n+3 (1)のように簡単に次数を決めることはできない.\ この場合,\ 次のようにして次数を決定する. \\[.2zh] \bm{f(x)の最高次の項をax^n\ (a\neqq0,\ n\geqq1)とおいて両辺の最高次の項を比較する}. \\[.2zh] ただし,\ これ以外に\bm{f(x)=(定数)の可能性を考慮}する必要がある. \\[1zh] 定数の場合も含めてax^n\ (a\neqq0,\ n\geqq0)とおいて考えることもできる. x^0=1 \\[.2zh] しかし,\ そうするとf(x)=0の場合が含まれなくなるので,\ 結局分けて考えることになる. \\[.2zh] なお,\ 0以外の定数の次数は0次だが,\ 0の次数は定めない. \\[1zh] さて,\ f(x)が定数でないとすると,\ 左辺f(x^2)の最高次の項がax^{2n}\,であることはすぐにわかる. \\[.2zh] 問題は右辺である.\ \ x^3f(x-1)のみの最高次の項はx^3\cdot ax^n=ax^{n+3}\,である. \\[.2zh] これと6x^4\,のどちらが右辺の最高次の項となるかはnの値によって変わってくる. \\[.2zh] n+3>4,\ つまり\bm{n\geqq2のとき,\ 右辺の最高次の項はax^{n+3}}\,である. \\[.2zh] n+3=4のとき,\ x^4\,の項がax^4+6x^4=(a+6)x^4\,となるが,\ これが最高次の項とは限らない. \\[.2zh] a=-\,6のとき0となるからである.\ 一般に,\ (n次式)+(n次式)=(n次式)とは限らない. \\[.2zh] 正しくは,\ \bm{(n次式)+(n次式)=(n次以下の式)}である.  \rei\ \ (x^2+2x)+(-\,x^2+x)=3x \\[1zh] このように,\ 本問の場合はf(x)が定数の場合や1次式の場合は話がややこしくなる. \\[.2zh] そこで,\ \bm{定数および1次式の場合と2次以上の式の場合を分けて考えた}のが本解である. \\[.2zh] f(x)=ax+bとおけば,\ 定数および1次式の場合をまとめて考えることができる. \\[.2zh] n\geqq2のとき,\ 最高次の項を比較すると3次式であるとわかる.\ 次数さえ確定すれば後は容易である. \\[1zh] 別解は\bm{数値代入法}によるものである. \\[.2zh] 関数方程式では,\ \bm{式が簡単になるxの値をとりあえず代入してみる}ことが重要である. \\[.2zh] x=0,\ 1,\ -\,1を代入してみるとf(0)=f(-\,2)=0,\ f(1)=9となる. \\[.2zh] この時点で,\ f(x)が定数や1次式ではないとわかる. \\[.2zh] よって,\ 2次以上の式の場合のみ考えればよく,\ 本解と同様にして3次式であることがわかる. \\[.2zh] 3次式の係数をすべて特定するには4つの式が必要になるので,\ さらにx=2を代入した.
タイトルとURLをコピーしました