比例式と同次分数式の値

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x+y}{5}=y+z}{6}=z+x}{7}\ (≠0)のとき,\ x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ の値を求めよ.$ \\ {比例式と同次分数式の値 \\   $比例式の扱い =k\ とおくと,\ x→y→z→xのように文字が循環した連立方程式となる. 循環型の連立方程式は,\ 各辺の和をとると対称式になる}ことを利用すると楽に解けるのであった. 和をとった式④から各式を引くとx,\ y,\ zが求まるので,\ 後は代入するだけである. 本問の値を求める式は,\ 分母も分子も2次の項のみでできている. このような分数式を同次式}といい,\ kが約分されて値が求まる. 言い換えると,\ 同次式の値は比さえわかれば求められる.} 実際,\ 本問の式の分母分子をx^2\,で割ると比のみで表すことができる.  \ 別解のように=kとおかずに求めることもできる. 一般に,\ (x,\ yの同次式)=0が1つあれば,\ x:yが求められる.} さらに,\ (x,\ y,\ zの同次式)=0が2つあれば,\ x:y:zが求められる.} 本問の条件式は①かつ②と同値なので,\ ここからx:y:zを求めることができる.  x:y:z=32y:y:2y=32:1:2=3:2:4 本問の場合は比の形にする必要はなく,\ そのまま代入すればよい. 比にせずとも,\ 式1つにつき文字を1つ消せる}ので,\ 2文字x,\ zを消去したというだけである. a+b+c=0の可能性があるので,\ 4(a+b+c)=k(a+b+c)から安易に4=kとしてはならない. =0の形にして因数分解し,\ AB=0\ ⇔\ A=0\ または\ B=0}\ を適用する. a+b+c=0のとき,\ これを与式に代入して値を求めればよい. 4-k=0のときk=4となるが,\ これを直ちに答えとしてはならない. 2(a+b)}{c}=k\ ⇒\ 2(a+b)=kc\ は成り立つが,\ これの逆は成り立たない}からである. つまり,\ ①\,~\,③から導かれたk=4は,\ (与式)=4であるための必要条件に過ぎない. c≠0であれば,\ 2(a+b)=4c\ ⇒\ 2(a+b)}{c}=4\ が成り立つ. 2(b+c)=4a,\ 2(c+a)=4bについても同様である. 結局,\ k=4となるような0でないa,\ b,\ cが存在することを確認する}必要が生じる. k=4を代入して解くと,\ a=b=cであればよいことがわかる. a=b=cならば何でもよいということなので,\ 0でないa,\ b,\ cが存在するといえる. なお,\ a≠0\ かつ\ b≠0\ かつ\ c≠0をabc≠0と表現することができる. abc=0\ ⇔\ a=0\ または\ b=0\ または\ c=0の対偶である.