比例式と同次分数式の値

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\bunsuu{x+y}{5}=\bunsuu{y+z}{6}=\bunsuu{z+x}{7}\ (\neqq0)のとき,\ \bunsuu{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ の値を求めよ.$ \\ {比例式と同次分数式の値}}}} \\\\[.5zh]   $\bm{\textcolor{blue}{比例式の扱い =k\ とおくと,\ x→y→z→xのように文字が循環した連立方程式となる. \\[.2zh] \bm{循環型の連立方程式は,\ 各辺の和をとると対称式になる}ことを利用すると楽に解けるのであった. \\[.2zh] 和をとった式\maru4から各式を引くとx,\ y,\ zが求まるので,\ 後は代入するだけである. \\[1zh] 本問の値を求める式は,\ 分母も分子も2次の項のみでできている. \\[.2zh] このような分数式を\bm{同次式}といい,\ kが約分されて値が求まる. \\[.2zh] 言い換えると,\ \bm{同次式の値は比さえわかれば求められる.} \\[.2zh] 実際,\ 本問の式の分母分子をx^2\,で割ると比のみで表すことができる.  \ 別解のように=kとおかずに求めることもできる. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{(x,\ yの同次式)=0が1つあれば,\ x:yが求められる.} \\[.2zh] さらに,\ \bm{(x,\ y,\ zの同次式)=0が2つあれば,\ x:y:zが求められる.} \\[.2zh] 本問の条件式は\maru1かつ\maru2と同値なので,\ ここからx:y:zを求めることができる. \\[.2zh]  x:y:z=\bunsuu32y:y:2y=\bunsuu32:1:2=3:2:4 \\[.8zh] 本問の場合は比の形にする必要はなく,\ そのまま代入すればよい. \\[.2zh] 比にせずとも,\ \bm{式1つにつき文字を1つ消せる}ので,\ 2文字x,\ zを消去したというだけである. a+b+c=0の可能性があるので,\ 4(a+b+c)=k(a+b+c)から安易に4=kとしてはならない. \\[.2zh] =0の形にして因数分解し,\ \bm{AB=0\ \Longleftrightarrow\ A=0\ または\ B=0}\ を適用する. \\[1zh] a+b+c=0のとき,\ これを与式に代入して値を求めればよい. \\[1zh] 4-k=0のときk=4となるが,\ これを直ちに答えとしてはならない. \\[.2zh] \bunsuu{2(a+b)}{c}=k\ \Longrightarrow\ 2(a+b)=kc\ は成り立つが,\ これの\bm{逆は成り立たない}からである. \\[.8zh] つまり,\ \maru1\,~\,\maru3から導かれたk=4は,\ (与式)=4であるための必要条件に過ぎない. \\[.2zh] c\neqq0であれば,\ 2(a+b)=4c\ \Longrightarrow\ \bunsuu{2(a+b)}{c}=4\ が成り立つ. \\[.8zh] 2(b+c)=4a,\ 2(c+a)=4bについても同様である. \\[.2zh] 結局,\ \bm{k=4となるような0でないa,\ b,\ cが存在することを確認する}必要が生じる. \\[.2zh] k=4を代入して解くと,\ a=b=cであればよいことがわかる. \\[.2zh] a=b=cならば何でもよいということなので,\ 0でないa,\ b,\ cが存在するといえる. \\[1zh] なお,\ a\neqq0\ かつ\ b\neqq0\ かつ\ c\neqq0をabc\neqq0と表現することができる. \\[.2zh] abc=0\ \Longleftrightarrow\ a=0\ または\ b=0\ または\ c=0の対偶である.
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