比例式 a/b=c/d と等式の証明

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\bunsuu ab=\bunsuu cd=\bunsuu ef$のとき,\ 等式$\bunsuu ab=\bunsuu{pa+qc}{pb+qd}=\bunsuu{pa+qc+re}{pb+qd+rf}$が成り立つことを示せ. \\ {比例式と等式の証明}比例式の扱い}}$ \\[.5zh]    $\bm{\textcolor{red}{\textcolor{cyan}{\bunsuu ab=\bunsuu cd}=k}}\ とおき,\ \bm{\textcolor{forestgreen}{a=bk,\ \ c=dk}}\ として\bm{\textcolor{red}{文字を減らす.}}$ \\\\\\    $\textcolor{red}{\bunsuu ab=\bunsuu cd=\bunsuu ef=k}$とおくと $\textcolor{forestgreen}{a=bk,\ c=dk,\ e=fk}$ \\[1zh] 比例式の基本的な扱い方さえ覚えておけば,\ 代入して計算するだけで証明できる. \\[.2zh] 本問の等式を\bm{加比の理}という. 正数$a,\ b,\ c,\ d$に対し,\ $a:b=b:c=c:d$が成り立つとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ $(a+b):(b+c)=(b+c):(c+d)$が成り立つことを示せ. \bm{条件が比の形で与えられた場合,\ 分数での表現に変換する}と扱いやすい. \\[.2zh] a:b=c:d\ のときad=bc\ より,\ 両辺をbdで割ると\,\bunsuu ab=\bunsuu cd\,となる. \\[.8zh] 両辺をcdを割って\,\bunsuu ac=\bunsuu bd,\ \ 両辺をacで割って\,\bunsuu dc=\bunsuu ba\,と変形してもよい. \\[1.5zh] なお,\ \bm{連比\ a:b:c=d:e:f}\ は,\ \ a:b=d:e\ \ かつ\ \ b:c=e:f\ を意味する. \\[.2zh] 本問は,\ \bm{条件も結論も分数に変換してから証明}すればよい. \\[.2zh] 本解のようにa,\ b,\ cをすべてd,\ kで表して証明することもできるが,\ 別解が簡潔である.
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