二項定理 (a+b)nの展開式

binomial-theorem
公式\ を一般化する.$  そのために,\ そもそも展開とは何かを$(a+b)³$を例に考えよう.  8つの項がすべて異なる色の文字の積となっており,\ 同じものはない.  つまり,\ 各項は3つの${(a_k,\ b_k)}$から一方を選び,\ それを掛けて作られる.  例えば,\ $a₁b₂a₃は,\選んできて掛けたものである.$  以上から,\ 展開式が次のようにして得られることがわかる. 「各因数内の項から1個ずつ選んで掛けたものをすべて足し合わせる}」  $3つの因数からa2個とb1個を選ぶ場合の数が3通りあったわけである.$  ${同じ組合せになるよう選ぶときの場合の数が各項の係数になるとわかる.$  $3つの箱\から1個ずつ取り出すとする.$  $\textcolor{violet}{\maru b3個}を選ぶと\textcolor{violet}{b³}となり,\ その場合の数は\ C33=1\ 通り}である.$  $このように考えると,\ 実際に展開計算せずとも展開式を得ることができる.$ \  $以上を一般化して,\ 次の{二項定理が得られる.$などは,\ aを何個選ぶかではなく,\ bを何個選ぶかを考えて立式している. 左から\ C n0,\ C n1と並ぶように書くのが一般的で,\ それに合わせるためである. このとき,\ 一般項(第r+1項)は {C nra^{n-r}b^r} なお,\ (二項式)^nの展開式に現れることから,\ 組合せ記号C nrを{二項係数}ともいう. 展開せよ.$ $(3x-2y)^{10}\ のx³y^7\ の項の係数を求めよ.$ $(2x²-{3}{x})^6\ の定数項を求めよ.$ 一般項は \ 二項定理を適用するだけである. \ 理解した上で,\ 素早く機械的に記述できるようにしておこう. \ 10個の因数から,\ {3xを3個,\ -2yを7個選べばよい}のはほぼ明らかである. \ いきなり\ C10}{7}3³(-2)^7\ を計算してもよいが,\ 複雑な問題に応用できない. \ {一旦一般項を文字で表し,\ x³y^7となるようなrを特定する.} \ つまり,\ 一般項\ C nra^{n-r}b^r\ にa,\ b,\ nを代入し,\ {係数部分を分離後rを定める.} \ 後は係数部分にrを代入すればよい.\ なお,\ C10}{7}=C10}{3}\ として計算する. \ 結果的には,\ 6個の因数から,\ x²を2個,\ 1xを4個選べば定数項となる. \ 本問は,\ x²と1xが打ち消しあうため,\ ほど単純にはわからない. \ やはり,\ 一般項から求めるのが確実である. \ 12-3r=0,\ つまりr=4のとき,\ x^0=1\ より,\ 定数項となる. 詳細な学習は指数・対数分野になるが,\ 次のような指数法則を用いる必要がある.
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