相加平均と相乗平均の関係の基本、最大最小問題への応用、落とし穴と限界

arithmetic-geometric
これは絶対的に成立する絶対不等式の1つである. 参考書によっては,\ 適用条件が\ a0,\ b0\ とされている. この不等式は,\ a=b=0\ の場合も00となり,\ 成立するからである. はまたは}=」を意味するから,\ 00は正しい不等式である. a=0またはb=0のとき,\ 常にab=0となり,\ 相乗平均が意味を持たなくなる. そこで,\ 普通としているのである.\ 実用上はどちらでもよい. 証明を簡潔に示しておく.\ a=bのときに等号が成立することもわかる. (左辺)²-(右辺)²=不等式の証明問題や最大・最小問題で利用できる.  うまくはまれば強力だが,\ 絶対不等式の適用には,\ 落とし穴と限界がある.  その部分を認識しておくことが,\ 応用上重要である まず,\ {公式の適用条件 を確認し,\ これを必ず断る.} 等号成立の確認が必要か否かがとの違いである.  は,\ 絶対的に2以上であることが公式適用で示されたので,\ これでよい.  しかし,\ は,\ 公式適用だけでは2以上が示されるにすぎない}.  これが,\ 最大・最小問題で絶対不等式を使うときの落とし穴になる.  「2以上」は,\ 「最小値2」をも意味するわけではないからである.  例えば,\ 最小値が100であったとしても,\ それは「2以上」である.  そこででは,\ 「最小値2」を示すため,\ 等号成立条件を調べたのである.  等号を成立させるような${x}$が1個でもあれば,\ 「最小値が2」が確定する.  $「x+1×2\ かつ\ x+1x=2\ となるxが存在する」\ →\ 「最小値2」である.$  結局,\ 絶対不等式で最大・最小を求める場合,\ 「等号の成立」の確認が要る.  単に不等式を証明すればよいだけの場合は,\ 指示されない限り必要ない.  次に,\ を考える. では,\ $x=1\ のとき最小値2が判明した.$  これは,\ $x2$のときの最大・最小に関しては何も主張していない.  等号成立時の${x}$が範囲外になるとき,\ 相加相乗で最小値は求まらない.  また,\ 最大値に関しても何もわからない.  「2以上」は,\ 「最大値なし」をも意味するわけではないからである.  例えば,\ 最大値が3であったとしても,\ それは「2以上」である.  これが相加平均と相乗平均の関係の限界である.\ 相加相乗は万能ではない.  のような場合は,\ 別の方法で求めなければならないのである.  ちなみに,\ $最大値なし,\ 最小値\ 52\ (x=2)だが,\ ここでは詳細を省略する.$  最大・最小問題で相加相乗を用いる場合には,\ さらに別の限界もある.  試しに,\ $x+{1}{x³}\ $の最小値を求めるとして,\ 相加相乗を使ってみよう. 考えて公式を適用}]$  $2x\ 以上であることはわかるが,\ それ以上何も得られるものはない.$  このように,\ 右辺が定数にならない場合は,\ 最小値は求まらない. 相加相乗で最大・最小が求まるのは, 次の2パターンに限られる. { ${積abが一定}となる場合,\ 和a+bの最小}値}が求まる.}$ { ${和a+bが一定}となる場合,\ 積abの最大}値}が求まる.}$  具体的には,\ ${自動的に積が一定になる○+{1}{○}型の最小問題が頻出$である.  その他,\ 相加相乗を使う目安として,\ 次の2つがある.   という条件つきである.\ または,\ 明らかに正数}である.}$   ${式の対称性が高い.} (そもそもa+b,\ abは基本対称式である)}$  さらに,\ 相加相乗は,\ 3変数以上に拡張される.\    3変数はほぼ大丈夫だが,\ 4変数以上を無断使用してよいかは微妙である.
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