二項係数nCrの等式とパスカルの三角形

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次のような規則で数を配置したものをパスカルの三角形という. \\[.2zh]   最上段と両端は1で,\ \textbf{\textcolor{red}{各位置の数は右上の数と左上の数の和}}である. \\   これの最も重要な性質は,\ $\bm{\textcolor{red}{(x+y)^n\,の係数を並べたもの}}となっていることである.${(x+y)^n\,の第r+1項目の係数は\ \kumiawase nr}}\ であった.$ \\[.2zh]   よって,\ \textbf{\textcolor{red}{パスカルの三角形は二項係数を並べたもの}}とみることもできる(右上). \\[.2zh]   このことを知っていると,\ 特定の二項係数の等式を理解しやすくなる. \ パスカルの三角形は他にも様々な性質をもつ. \\[.2zh] 例えば,\ 左右のパスカルの三角形を段ごとに足してみよう. \\[.5zh]  3段目 1+2+1=\kumiawase20+\kumiawase21+\kumiawase22=4=2^2 \\[.2zh]  4段目 1+3+3+1=\kumiawase30+\kumiawase31+\kumiawase32+\kumiawase33=8=2^3 \\[.2zh]  5段目 1+4+6+4+1=\kumiawase40+\kumiawase41+\kumiawase42+\kumiawase43+\kumiawase44=16=2^4 \\[.5zh] これらは,\ 前項で証明した\ \kumiawase n0+\kumiawase n1+\cdots\cdots+\kumiawase nn=2^n\ の特殊な場合である.  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{\,組合せの考え方を利用\,}{n+1人の生徒からr人の代表を選ぶ}ときの場合の数は \textcolor{red}{\kumiawase{n+1}{r}}$ \\[.5zh]   一方,\ $\textcolor{red}{特定の1人(\text{A}君)に着目してn+1人からr人の代表を選ぶ}ことを考える.$ \\[.2zh]   $\text{A}君を代表に選ぶ場合と選ばない場合があり,\ 互いに排反である.$ \\[1zh]   $\textcolor{red}{\text{A}君を代表に選ばない}とき,\ \textcolor{cyan}{\text{A}君以外のn人から代表r人を選ぶ}場合の数は \textcolor{red}{\kumiawase nr}$ \\[.5zh]   $\textcolor{red}{\text{A}君を代表に選ぶ}とき,\ \textcolor{cyan}{\text{A}君以外のn人から代表r-1人を選ぶ}場合の数は  複雑な右辺を変形して左辺を導くとよい. \\[.2zh] 階乗の形で表して通分するだけだが,\ 階乗に扱いに慣れていないと厳しい. \\[1zh] また,\ n-r+1=(n-r)+1より,\ (n-r)\kaizyou\,と(n-r+1)\kaizyou\,は(n-r+1)\kaizyou\,で通分できる. \\[.2zh] 後は最終目標である\,\kumiawase{n+1}{r}=\bunsuu{(n+1)\kaizyou}{r\kaizyou(n+1-r)\kaizyou}\,に向かって変形していけばよい. \\\\ 具体例として,\ n=7,\ r=3の場合の\,\ を示しておく. 3\kaizyou\,と2\kaizyou,\ 4\kaizyou\,と5\kaizyou\,をそれぞれ通分していることに注意してほしい. \\[1zh] 実は,\ この等式に関しては\bm{組合せによる意味づけのほうが重要}である(別解). \\[1zh] \bm{パスカルの三角形における\,\kumiawase{n+1}{r},\ \kumiawase nr,\ \kumiawase{n}{r-1}\,の位置関係}が右である. \\[.2zh] こう見ると,\ \kumiawase{n+1}{r}=\kumiawase nr+\kumiawase{n}{r-1}\ (パスカルの等式)はほぼ自明の関係である. \\[-5zh] 前項の\,\kumiawase n0+\kumiawase n1+\cdots+\kumiawase nn=2^n\,は,\ \kumiawase nr\,のnが一定でrが変化するときの和である. \\[.2zh] 本問は,\ \bm{\kumiawase nr\,のrが一定でnがが変化するときの和}である. \\[1zh] 等式\,\kumiawase{n+1}{r}=\kumiawase nr+\kumiawase{n}{r-1}\,を利用して証明することができる. \\[.2zh] まず,\ \kumiawase{n}{r-1}=\kumiawase{n+1}{r}-\kumiawase nr\ と変形する. \\[.2zh] さらに,\ rをr+1に置き換えると,\ \bm{\kumiawase nr\,を階差の形で表す}ことができる. \\[.2zh] 階差の形とは,\ f(n+1)-f(n)のようなn+1番目の項とn番目の項の差の形のことである. \\[.2zh] 階差の形のメリットは,\ \bm{各項をすべて書き出すと中央が消えて和を求められる}ことである. \\[.2zh] 実際,\ n=1からの和をすべて書き出すと,\ 次のようにして和が求まる. どの項とどの項が打ち消し合うかを慎重に判断する必要がある. \\[1zh] r\leqq n-1よりn\geqq r+1であるから,\ \kumiawase rr\,はそのままで,\ \bm{\kumiawase{r+1}{r}\,以降の項に等式を適用する.} \\[.2zh] 最後に残った項を整理すると\,\kumiawase{n+1}{r+1}\,となり,\ 証明される. \\[.2zh] 階差の利用は,\ 数\text B:数列で学習後は頻出する和の求め方で,\ 本問はその一種である. \\[.2zh] 初見ではかなり難しく感じる人も多いと思われるので,\ 数\text B学習後にもう一度見直すとよい. \\[1zh] 抽象的でわかりにくいので,\ 例として \bm{等式がパスカルの三角形においてくの字型の配置になっている}ことを確認しておいてほしい. \\[1zh] また,\ パスカルの三角形を元に逆に\,\kumiawase63\,から遡っていくと次のようになる
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