二項係数nCrの和の等式の証明(二項定理の利用)

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高校数学で登場する二項係数の和の等式のほとんどは,\ 二項定理を背景としている.} \\[.2zh] 実際には,\ \bm{(1+x)^n\,の二項展開式を元に考える}ことが基本になる.\ 一度は経験が必要だろう. \\[1zh] (1),\ (2)は,\ (1+x)^n\,の展開式と問題の式を見比べ,\ \bm{適切な値を両辺に代入する}と得られる. \\ 実は,\ 最終的に(1+x)^n\,にx=1を代入するのならば,\ 最初から(1+1)^n\,を二項展開すれば済む. \\[.2zh]  2^n=(1+1)^n 入試では「\retuwa{k=0}{n}\kumiawase nk\ を求めよ」のように数\text B:数列で学習する\retuwa{}{}を用いた表現での出題も多い. \\[.6zh] \retuwa{}{}の正体が不明な場合は和の形で書き下してみる.\ (1)と同じ問題であることに気付くことができる. \\\\ (3)\ \ \bm{(1)と(2)の和と差を計算すると得られる.}\ ただし,\ nが奇数か偶数かで微妙に式が異なる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ nが奇数のとき,\ 1+(-1)^{n-1}=1+1=2,\ \ 1+(-1)^n=1-1=0\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 両辺を2で割ると目的の式を得ることができる.\ nが偶数の場合も同様である. 自然数$r,\ n$に対して,\ 次の等式が成り立つことを示せ  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{\,組合せの考え方を利用\,}}] \\[1zh]   $\textcolor{red}{生徒n人からr人の代表を選び,\ そこからさらに1人の主将を選ぶ}ことを考える.$ \\[.2zh]   $このとき,\ 次の2つの方法が考えられる.$ \\[1zh]   [1]\ \ $\textcolor{cyan}{先に生徒n人から代表r人を選び,\ その後r人の代表から1人の主将を選ぶ.}$ \{先に生徒n人から主将1人を選び,\ その後残りのn-1人からr-1人の代表を選ぶ.}$} \\[.2zh] を階乗で表して式計算する}証明(本解)が標準解法であるを階乗で表したり,\ 階乗を約分したりする機会は以外と多いのでよく演習しておいてほしい. \\[1zh] この等式は,\ ある種の応用問題で役立つので記憶に値する.\ \ (2),\ (3)でも早速利用する. \\[.2zh] 組合せによる意味づけ(別解)を理解していると,\ 丸暗記せずとも必要なときに作ることができる. \\[.2zh] 大学では\ \kumiawase nr\ を\ \retube{n}{r}\ と表す場合がある.\ \ \retube{n}{r}=\bunsuu nr\retube{n-1}{r-1}\ の形が覚えやすいかもしれない. \\\\ n=1のときr=1であり,\ このとき\,\kumiawase{n-1}{r-1}=\kumiawase{0}{0}\,となる. \\[.2zh] 0\kaizyou=1\ (定義)より\,\kumiawase00=\bunsuu{0\kaizyou}{0\kaizyou(0-0)\kaizyou}=1\,であるから,\ n=r=1のときも等式は成立する. \{\,(1+x)^n\,の二項展開式を微分\,}}]$ \\[1zh] {両辺をxで微分}すると$ (1)で証明した等式を利用する必要がある. \\[.2zh] \bm{1\cdot\kumiawase n1,\ \ 2\cdot\kumiawase n2,\ \cdots,\ n\cdot\kumiawase nn\ に対してそれぞれ(1)の等式を適用すると,\ nがくくり出せる.} \\[.2zh] 例えば,\ 2\cdot\kumiawase n2=n\kumiawase{n-1}{2-1}=n\kumiawase{n-1}{1}\ である. \\[.2zh] 括弧内は,\ 最初に示した\,\kumiawase n0+\kumiawase n1+\cdots+\kumiawase nn=2^n\,のnをn-1にした形だと気付く必要がある. \\[.2zh] 結局,\ \bm{(1+1)^{n-1}\,の二項展開式を考えるか,\ (1+x)^{n-1}\,の二項展開式の両辺にx=1を代入する.} \\[.2zh]  (1+x)^{n-1}=\kumiawase{n-1}{0}+\kumiawase{n-1}{1}x+\kumiawase{n-1}{2}x^2+\cdots\cdots+\kumiawase{n-1}{n-1}x^{n-1} \\[.2zh] 本問では結果がn\cdot2^{n-1}\,となることがわかっているので,\ (1+1)^{n-1}\,に気付くことは難しくない. \\[1zh] 本問はr\kumiawase nr\ (r=1,\ \cdots,\ n)\ の和である.\ 数\text B:数列で学習する\retuwa{}{}を用いて表すと\retuwa{r=1}{n}r\kumiawase nr\ となる. \\[.8zh] nの部分は変わらず,\ rの部分が1からnまで変化するときの和なので,\ \bm{nは定数,\ rは変数}である. \\[.2zh] 実は,\ ここに\bm{等式\ r\kumiawase nr=n\kumiawase{n-1}{r-1}\ を適用する意義}がある. \\[.2zh] この等式の左辺r\kumiawase nr\,にはrが2ヶ所にある一方,\ 右辺n\kumiawase{n-1}{r-1}\,ではrが1ヶ所にしかない. \\[.2zh] つまり,\ 等式の適用により,\ \bm{2ヶ所に散らばっていた変数rを1ヶ所に集める}ことができる. \\[.2zh] その結果,\ 定数nがくくり出せて,\ 基本的な二項係数の和に帰着したわけである. \\[.2zh] 変数を1箇所に集めることを目的とした式変形の代表は,\ 平方完成や三角関数の合成である. \\[.2zh]  x^2+2x=(x+1)^2-1  \sin\theta+\ruizyoukon3\cos\theta=2\sin(\theta+60\Deg) \\[.2zh] 数\text B:数列学習後ならば,\ \retuwa{r=1}{n}r\kumiawase nr=n\retuwa{r=1}{n}\kumiawase{n-1}{r-1}\ と書くと等式利用の意義がよくわかるだろう. \\\\ 実は,\ 微分を学習後は別解が標準解法となり,\ 非常に簡潔に済む. ,の二項展開式を積分左辺を\textcolor{red}{区間0\leqq x\leqq1で定積分}すると (2)と同様,\ \bm{等式\ r\kumiawase nr=n\kumiawase{n-1}{r-1}\ を用いて変数rを1ヶ所に集める}ことを考える. \\[.2zh] 解答のように等式を分数の形にし,\ さらにnをn+1と置き換えると\,\bunsuu{\kumiawase{n}{r-1}}{r}\,の形ができる. \\[.5zh] 等式を各項に適用すると\,\bunsuu{1}{n+1}\,がくくり出せ,\ 単純な二項係数の和に帰着する. \\[.8zh] 今度は\bm{ほぼ(1+1)^{n+1}\,の二項展開式の形}であるが,\ 完全には一致しない. \\[.2zh] \bm{\kumiawase{n+1}{0}=1\,を移項}すると完全に一致する. \\[1zh] 実は,\ 積分を学習後は別解が標準解法となり,\ 非常に簡潔に済む. (1+x)^n(x+1)^n=(1+x)^{2n}\ を利用し,\ 次の等式が成り立つことを示せ.$ \\[.8zh]   {\kumiawase n0}^2+{\kumiawase n1}^2+{\kumiawase n2}^2+\cdots\cdots+{\kumiawase nn}^2=\kumiawase{2n}{n}$ \\   $(1+x)^n(x+1)^n\ を二項展開すると できれば誘導なしで導けるようにしておいてほしい. \\[.2zh] \bm{(1+x)^n(x+1)^n=(1+x)^{2n}\,の両辺のx^n\,の係数を比較すると導ける.} \\[1zh]
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