二項係数nCrの和の等式(二項定理の利用)

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自然数nに対して,\ 次の等式が成り立つことを示せ.$ {(1+x)^nの二項展開式から,\ 様々な二項係数の等式を得る}ことができる. {二項係数の和を見かけた場合,\ 二項定理を思い浮かべる}ことが重要である. これらの等式を暗記する必要はない.\ 二項定理から導けるようにしておこう. C nrのrが増えるにつれて次数が増えるよう,\ (x+1)^nではなく,\ (1+x)^nとする. ,\ は,\ (1+x)^nの展開式と問題の式を見比べ,\ 適切な値を代入すればよい. 二項係数の和が2^nや0という簡潔な値で表されることがわかる. 言うなれば,\ 二項展開の逆「二項因数分解(造語)」である. x=2を代入すると,\ 3^n=C n0+2C n1+2²C n2++2^nC nn\ なども得られる. が,\ {との和と差をとって得られる}ことは覚えておきたい. 両辺を微分}すると$ (1+x)^n\ の展開式を微分・積分(数III})することでも様々な等式が得られる. 本問の等式は最も単純なで,\ {両辺を1回微分した後x=1を代入}して得られる. 微分・積分による方法は極めて簡潔だが,\ 数III}の知識を要する. 微分・積分を用いない別解として,\ 等式\ rC nr=nCn-1}{r-1}\ を利用する方法がある. \ に対して等式を適用すると,\ nがくくり出せる.} 括弧内は, の右辺と類似している. よく見比べると,\ {両辺のnをn-1とすればよい}ことがわかる. {rは変数,\ nは定数}である.\ rC nr\ は変数rが2箇所に散らばっており,\ 扱いにくい. ここに,\ 等式\ {rC nr=nCn-1}{r-1}\ の意義}がある. 等式の適用で,\ {2箇所に散らばっていた変数rを1箇所に集める}ことができる. その結果,\ 定数nがくくり出せて,\ 基本的な二項係数の和に帰着したわけである. ちなみに,\ 平方完成や三角関数の合成も変数を1箇所に集めるための変形である. Σ}に慣れた人ならば,\と書くと意義がよくわかるだろう. 区間[0,\ 1]で定積分}すると$ {両辺を区間[0,\ 1]で定積分して得られる}最も単純な等式である. 問題によっては,\ どの区間で積分するかを考える必要が出てくる. 積分を使わない場合,\ 等式\ rC nr=nCn-1}{r-1}\ を用いる. 微分の場合と同様,\ {変数rの散らばりを減らす方向で変形}することを考える. 解答のように分数の形にし,\ さらにnをn+1とすると,\ {Cn}{r-1{r}\ の形ができる. これを\ {Cn+1}{r{n+1}\ とすると,\ 変数rが1箇所に集められることになる. 各項に適用すると,\ {1}{n+1}\ がくくり出せ,\ 単純な二項係数の和に帰着する. 分子は,\ と類似している. {両辺のnをn+1}として\maru{Aが得られるが,\ 完全には一致しない. {Cn+1}{0}(=1)を右辺に移項}すると完全に一致する. (1+x)^n(x+1)^n=(1+x)^{2n}\ を利用し,\ 次の等式が成り立つことを示せ.$  $(1+x)^n(x+1)^n\ を二項展開すると$  $展開したときのx^nの係数}は    $(1+x)^{2n}を二項展開したときのx^nの係数}は できれば誘導も含めて導き方を覚えておきたい等式である. {両辺のx^nの係数を比較して導く}ことができる. 展開してx^nとなるのは
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